POJ 3613 Cow Relays (Floyd+倍增思想)
题目大意：求经过N条边的最短路。 好题，更深刻的理解了Floyd和图邻接矩阵上的乘法。 这个问题和求两点间经过N条边的路径数很相似，而我们知道如果用图的邻接矩阵A存储图的话，二分矩阵快速幂A^N即为所求。路径数能用矩阵乘法求是因为它的状态方程正好和矩阵乘法一样：设dp[i][j][p]表示i到j点经过p条边的路径数，则dp[i][j][p] = sigma(dp[i][k][p-1]*dp[k][j][1])，即A=B*C（把dp[p]看成A，dp[p-1]看成B……）； 但显然最短路的方程不是这样的。按照Floyd的方程它应该是dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j])。 那这样的方程能用类似上面的方法求么？答案是肯定的，只要修改一下“乘法”即可。显然，只要矩阵运算符合结合律，那么它就能用二分矩阵快速幂做。关于上面Floyd方程符合结合率的证明，俞华程的论文《矩阵乘法在信息学中的应用》有证明，不过他前面的我没看懂。。。 那么只要我们重新定义下矩阵“乘法”为：C[i][j] = min(C[i][j], A[i][k]+B[k][j])，问题迎刃而解。 假如我们设图的邻接矩阵为VE，则按上面的定义，VE * VE 显然就是两点到达经过两条边所需要的最短路径。然后同理VE ^ N就是到达经过N条边所需要的最短路径。为什么这个很类似Floyd的式子求出来的是确定了经过边数的最短距离？因为这个更新和Floyd不同的是更新到一个新的矩阵上去了而不是直接像Floyd的自己更新自己。所以在一更新时，不会出现自己刚更新的值又来继续更新。
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