POJ 2115 C Looooops(扩展欧几里得)

辗转相除法（欧几里得算法）

时间复杂度：在O(logmax(a, b))以内

int gcd(int a, int b)

{

	if (b == 0) return a;

	return gcd(b, a % b);

}

　　

扩展欧几里得算法

时间复杂度和欧几里得算法相同

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y)

{

	int d = a;

	if (b != 0) {

		d = extgcd(b, a % b, y, x);

		y -= (a / b) * x;

	} else {

		x = 1; y = 0;

	}

	return d;

}

用于求ax+by=gcd(a,b)整数解，xy返回整数解，extgcd的返回值是ax+by的值。

题目：(A+x*C)%2^k=B 求x整数解。
解析:
x*C=B-A 的在mod(2^k)情况下的整数解
可以转化成x*C+y*(2^k)=B-A的解
通过扩展欧几里得算法求出x1*C+y1*(2^k)=gcd(c,2^k)的解x1,y1,d=x1*C+y1*(2^k)=gcd(c,2^k)
x1*C+y1*(2^k)=(B-A)(gcd(c,2^k)/(B-A))
(A-B)/gcd(c,2^k)*x1*C+(A-B)/gcd(c,2^k)*y1*(2^k)=B-A
x=(A-B)/gcd(c,2^k)*x1
y=(A-B)/gcd(c,2^k)*y1
要求的值为x,x可能是负数,所以要把x变到正整数。通过+(2^k)/d 再%(2^k)/d来变成正数。

 

#include <cstdio>



long long extgcd(long long a, long long b, long long& x, long long& y)

{

	long long d = a;

	if (b != 0) {

		d = extgcd(b, a % b, y, x);

		y -= (a / b) * x;

	} else {

		x = 1; y = 0;

	}

	return d;

}



int main()

{

    long long a, b, c, k;

    while (scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &k) != EOF) {

        if (a == 0 && b == 0 && c == 0 && k == 0) break;

        long long x, y;

        long long t = b - a;

        long long h = 1LL << k;　　//2^k

        long long g = extgcd(c, h, x, y);

        if (t % g != 0) {　　　　　　//no solution

            printf("FOREVER\n");

            continue;

        }

        x *= t / g;

        x = (x % (h / g) + (h / g)) % (h / g);//最小非负整数解

        printf("%lld\n", x);

    }

    return 0;

}