再生核

设Hilbert空间H上的元素是定义在集合X上的复值函数。x,y属于X。定义X*X上的复值函数K(x,y)=(Kx,Ky)称为H上的再生核,如果满足以下条件:

1,对于每一个固定的x,Kx(y)=K(y,x)为Hilbert空间中关于y的泛函。

2,对于每一个x属于X,f属于H,f(x)=(f,Kx)。

证明:

设x属于X,f属于H,f(x)是H上的线性连续泛函,根据Riesz表现定理,存在Kx 属于H,使得:

f(x)=(f,Kx)。

定义X*X上的复值函数,对于每一个固定的x,Kx(y)为泛函。

K(x,y)=(Kx,Ky)=Kx(y)

 验证K(x,y)满足条件2:

因为f(y)=(f,Ky),Ky=K(.,y)。

所以f(y)=f(f,K(.,y))。

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