矩阵理论之仿射

概念:在几何学中,仿射变换指一个向量空间进行一次线性变换并加上一次平移变换,并成为另一个向量空间。注意,平移变换不属于线性变换。表达式如下:

其中,A即是我们的变换矩阵。

这里我们先暂不讨论平移变换分量,只讨论变换矩阵。具体来说,只讨论二维空间的变换矩阵。

在二维空间中,一般比较常见的线性变换,包括:旋转、缩放、切变、反射以及正投影。

1. 旋转:

绕原点逆时针旋转θ角的矩阵表示为:

2. 缩放:

这里的αβ分别是对x和y轴的缩放系数:

 

3. 切变(transvection):

切变其实就是倾斜,分两种:一种是平行于x轴,一种是平行于y轴:

平行x轴的矩阵表示为:

 

平行y轴的矩阵表示为:

4. 反射:

为沿着原点的直线反射向量,假设(α,β)为直线方向的单位向量,变换矩阵为:

注意不经过原点的反射。

5. 正投影:

将向量正投影到一条经过原点的直线,假设(α,β)是直线方向的单位向量,变换矩阵为:

注意不经过原点的变换。

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