[算法集锦]编辑距离分析与实现
编辑距离的分析与实现
做文本分析的时候，我们常常需要计算两篇文本的相关性（相关性除了可以使用相似度还可以使用距离-当然是应该反着来算的），如果你不知道把文本转换为一个向量(如果你知道这个，那遭了，因为那样你就可能认为我这里的很rubbish了)，那你可能会考虑我们这里介绍的最朴素的方法-计算字符串间编辑距离的方法。
先给出我遇到的问题(也即定义编辑距离):
设A 和B 是两个字符串。对于字符串可以执行如下操作：
（1） 删除一个字符；
（2）插入一个字符；
（3）将一个字符替换成另外一个字符。
例如将kitten一字转成sitting：
(1). sitten (k→s)
(2). sittin (e→i)
(3). sitting (→g)
利用上面的三种操作可以将字符串A 转换成字符串B。这种转换所需要的最少的字符串操作次数称为字符串A 到B 的编辑距离，记为d(A, B)。请设计一个算法，对任意给定的两个字符串A 和B，计算出他们的编辑距离d(A, B)。
我是从另一面考虑这个问题的！希望计算A变到B的最少步骤，我可以先看看A和B之间有多少是相同的，然后把一些不相同的按照相应操作变就是了。这里能这么做是因为所提供的操作允许我们有这样的假设。
比如，kitten和sitting有ittn是相同的（不必须他们连续），那么这些相同的是我们不需要动的，然后就是要把ke变成sig了，这里应为各个规则权重一样，那么就是3了；如果各个规则权重不一样就没那么简单了。
依据上面的分析，那么我们主要就是要找到两字符串的公共字符串的大小，然后用两字符串的长度的少大值减去它就可以了。也就是：编辑距离=max(字符串1的长度,字符串2的长度)-两字符串的最长公共长度。
好的，现在重点就是要计算两字符串的最长公共长度。我是这样考虑的，如果要计算str1与str2的最长公共长度。我首先从str1的字符从左到右一个个来，假设str1前m个字符与str2前n个字符的最长公共长度为dist[m][n]，那么假设str1前m+1个字符与str2前n+1个字符的最长公共长度就为以下两种情况了:（1）str1[m+1]==str2[n+1]，这个时候的dist[m+1][n+1]就应该是dist[m][n]+1了；(2) str1[m+1]!=str2[n+1] ，这个时候的dist[m+1][n+1]就应该是dist[m][n+1]和dist[m+1][n]中较大点的那个了。好了，就是这样思想，这是一种动态规划的想法，下面给出动态规划状态转移方程：
dist[m][n]=(1):dist[m-1][n-1],str1[m]==str2[n];(2):max(dist[m-1][n],dist[m][n-1]),else
(注，我不会在这里写数学公式)
好的，下面给出代码，因为听报告的时候电脑没安装C语言开发环境，又没网下不了DEV-C++，所以就直接用Java语言写了(其实这种问题用C语言作为描述代码更好，大家委屈下，因为我也懒的再写一个了)。
代码1：
//求解两字符串的编辑距离
public static int EditDistance(String str1,String str2)
{
char[] strs1=str1.toCharArray();//转换为字符数组
char[] strs2=str2.toCharArray();//转换为字符数组
int[][] dist=new int[strs1.length+1][strs2.length+1];//定义距离二维数组,多定义一维是为了避免边界检测
int i,j,temp;
for(i=0;i<=strs1.length;i++) dist[i][0]=0;//初始化边界值
for(i=0;i<=strs2.length;i++) dist[0][i]=0;//初始化边界值
for(i=1;i<=strs1.length;i++)
{
for(j=1;j<=strs2.length;j++)
{
if(strs1[i-1]==strs2[j-1])//如果两字符相等，则取dist[i-1][j-1]+1
{
temp=dist[i-1][j-1]+1;
}
else//不等，则取dist[i-1][j]与dist[i][j-1]的最大值
{
temp=dist[i][j-1];
if(dist[i-1][j]>temp) temp=dist[i-1][j];
}
dist[i][j]=temp;
}
}
temp=dist[strs1.length][strs2.length];
if(strs1.length>strs2.length)
return strs1.length-temp;
else
return strs2.length-temp;
}
对这个程序作出时空分析的时候发现，时间复杂度为O(mn)，空间复杂度也为O(mn)，有没有改进的余地呢？其实还是有的。注意到，每次状态转移的时候，我们只需考虑dist[i-1][*]这一维数组和dist[i][*]这一维，所以我们时候只用两个一维数组就可以了呢，然后使用两个数组一次轮倒(轮倒是我创造的词，意思就是轮流的倒来倒去)，其实都不用轮倒，只要每次把[i][*]的结果用[i-1][*]保存就好了！
代码二:
//求解两字符串的编辑距离的优化算法，旨在解决其空间复杂度过高(达到0(m*n))的情况,优化后空间复杂度为o(n)
public static int EditDistanceUp(String str1,String str2)
{
char[] strs1=str1.toCharArray();//转换为字符数组
char[] strs2=str2.toCharArray();//转换为字符数组
int[][] dist=new int[2][strs2.length+1];//定义距离二维数组,多定义一维是为了避免边界检测,
//每次都在dist[0][*]与dist[1][*]之间倒
//dist[0][*]存储上次最优结果，也就是dist[i-1][j]
//dist[1][*]存储这次最优结果，也就是dist[i][j]
int i,j,temp;
for(i=0;i<=strs2.length;i++) dist[0][i]=0;//初始化边界值
dist[1][0]=0;
for(i=1;i<=strs1.length;i++)
{
for(j=1;j<=strs2.length;j++)
{
if(strs1[i-1]==strs2[j-1])//如果两字符相等
{
temp=dist[0][j-1]+1;
}
else//不等，则取dist[i-1][j]与dist[i][j-1]的最大值
{
temp=dist[1][j-1];
if(dist[0][j]>temp) temp=dist[0][j];
}
dist[1][j]=temp;
}
for(j=0;j<=strs2.length;j++)
dist[0][j]=dist[1][j];
}
temp=dist[1][strs2.length];
if(strs1.length>strs2.length)
return strs1.length-temp;
else
return strs2.length-temp;
}
暂时就想到这么多了，应该还有改进的余地！如你有好方法解决此类问题，还忘不吝赐教。
PS：祝元旦快乐！一年更比一年好！