(1) 初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
(2) 迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)
(3) 检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
算法描述如下:
Bellman-Ford(G,w,s) :boolean //图G ,边集 函数 w ,s为源点
1 for each vertex v ∈ V(G) do //初始化 1阶段
2 d[v] ←+∞
3 d[s] ←0; //1阶段结束
4 for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始,双重循环。
5 for each edge(u,v) ∈E(G) do //边集数组要用到,穷举每条边。
6 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //松弛判断
7 d[v]=d[u]+w(u,v) //松弛操作 2阶段结束
8 for each edge(u,v) ∈E(G) do
9 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10 Exit false
11 Exit true
算法模板(C++)
typedef struct edge
{
int v;//起点
int u;//终点
int w;
}edge;
edge edges[200004];
int d[1004];
int maxData = 1000000000; //此处要特别注意,bellman-ford算法中不要使用0x7fffffff,为此wa了n次
int edgenum;
bool BellmanFord(int s)
{
int i,j;
bool flag = false;
for(i=1;i<n+1;++i)
{
d[i] = maxData; //其余点的距离设置为无穷
}
d[s]=0; //源点的距离设置为0
for(i=1;i<n;++i)
{
flag = false; //优化:如果某次迭代中没有任何一个d值改变,尽可以立刻退出迭代而不需要把所有的n-1次迭代都做完
for(j=0;j<edgenum;++j)
{
if(d[edges[j].u]>d[edges[j].v]+edges[j].w)
{
flag =true;
d[edges[j].u]=d[edges[j].v]+edges[j].w;
}
}
if(!flag)
break;
}
for(i=0;i<edgenum;++i)
{
if(d[edges[i].v]<maxData && d[edges[i].u]>d[edges[i].v]+edges[i].w)
{
return false;
}
}
return true;
}
主函数中:
edgenum=0;
for(i=0;i<m;++i)
{
cin>>start>>end>>w;
edges[edgenum].v = start;
edges[edgenum].u = end;
edges[edgenum].w = w;
edgenum++;
}