（扩展）欧几里德&&快速幂

 

GCD模板

__int64 gcd(__int64 a,__int64  b)

{

    return b==0? a:gcd(b,a%b);

}

 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

　　gcd函数的基本性质：

　　gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

证明：

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

      a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

第二种证法：

第二种证明：

    要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
                                                                则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，
                                                                 所以n ，m-qn一定互质）
    则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
    得证。

 

扩展欧几里德定理

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整

　　数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

以上来自 这篇博客 具体应用可以继续看这篇文章

模板

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

    if(b == 0)

    {

        x = 1; y = 0; return a;

    }

    int d = exgcd(b, a % b,x,y);

    int temp = x;

    x = y;

    y = temp - a / b * y;

    return d;

}

 快速幂取模

http://blog.csdn.net/hkdgjqr/article/details/5381292

快速幂取模就是在O(logn)内求出a^n mod b的值。算法的原理是ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c

二分递归

long exp_mod(long a,long n,long b)

{

    long t;

    if(n==0) return 1%b;

    if(n==1) return a%b;

    t=exp_mod(a,n/2,b);

    t=t*t%b;

    if((n&1)==1) t=t*a%b;

    return t;

}

基于二进制

LL q_mod(LL a,LL b)
{
LL d,t;
d = 1,t=a;
while(b)
{
if(b&1) d = (d*t)%mod;
b/=2;
t = (t*t)%mod;
}
return d;
}

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2817

View Code

 1 #include<stdio.h>

 2 #define N 200907

 3 __int64 exp_mod(__int64 a,__int64 b)

 4 {

 5     __int64 d,t;

 6     d = 1;

 7     t = a;

 8     while(b>0)

 9     {

10         if(b%2==1)

11             d = d*t%N;

12         b=b/2;

13         t = t*t%N;

14     }

15     return d;

16 }

17 int main()

18 {

19     __int64 n,m,a1,a2,a3,d,s,x;

20     int i,j,k,t;

21     scanf("%d", &t);

22     while(t--)

23     {

24         scanf("%I64d%I64d%I64d%d",&a1,&a2,&a3,&k);

25         if(a2-a1==a3-a2)

26         {

27             d = a3-a2;

28             s = (a1%N+d*(k-1)%N)%N;

29             printf("%I64d\n",s);

30         }

31         else

32         {

33             x = a3/a2;

34             printf("%I64d\n",(a1*exp_mod(x,k-1))%N);

35         }

36     }

37     return 0;

38 }