POJ 3150 Cellular Automaton --矩阵快速幂及优化

题意：给一个环，环上有n块，每块有个值，每一次操作是对每个点，他的值变为原来与他距离不超过d的位置的和，问k(10^7)次操作后每块的值。

解法：一看就要化为矩阵来做，矩阵很好建立，大白书P157页有讲，大概为：

[1 1 0 .. 0 1]

[1 1 1 .. .. 0]

...

[1 1 .. .. .. 1]  的循环矩阵，可以证明，循环矩阵的乘积还是循环矩阵，且循环矩阵的性质： a[i][j] = a[i-1][j-1] (循环的) ，所以，我们每次矩阵相乘只需要算出第一行，余下的不需要通过矩阵乘法来算出，直接根据规律推出，这样，矩阵乘法的复杂度就降到了O(n^2)，加上快速幂，总复杂度O(n^2log(k))。

注意：中间相乘的时候a[i][k]*b[k][j]可能会超过int范围，要加一个long long，否则会WA.

代码：(6000+ ms  也是醉了。。)

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#define SMod m

#define ll long long

using namespace std;



int n,m,k,d;

struct Matrix

{

    int m[501][501];

    Matrix()

    {

        memset(m,0,sizeof(m));

        for(int i=1;i<=n;i++)

            m[i][i] = 1;

    }

};



Matrix Mul(Matrix a,Matrix b)

{

    Matrix res;

    int i,j,k;

    for(j=1;j<=n;j++)

    {

        res.m[1][j] = 0;

        for(k=1;k<=n;k++)

            res.m[1][j] = (res.m[1][j]+(ll)a.m[1][k]*b.m[k][j]%SMod + SMod)%SMod;

    }

    for(i=2;i<=n;i++)

    {

        for(j=2;j<=n;j++)

            res.m[i][j] = res.m[i-1][j-1];

        res.m[i][1] = res.m[i-1][n];

    }

    return res;

}



Matrix fastm(Matrix a,int b)

{

    Matrix res;

    while(b)

    {

        if(b&1)

            res = Mul(res,a);

        a = Mul(a,a);

        b >>= 1;

    }

    return res;

}



Matrix Muti(Matrix a,Matrix b)

{

    Matrix res;

    int i,j,k;

    for(i=1;i<=n;i++)

    {

        res.m[i][1] = 0;

        for(k=1;k<=n;k++)

            res.m[i][1] = (res.m[i][1]+(ll)a.m[i][k]*b.m[k][1]%SMod + SMod)%SMod;

    }

    return res;

}



int main()

{

    int i,j;

    while(scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&d,&k)!=EOF)

    {

        Matrix R;

        memset(R.m,0,sizeof(R.m));

        for(i=1;i<=n;i++)

            scanf("%d",&R.m[i][1]),R.m[i][1]%=SMod;

        Matrix A;

        for(i=2;i<=d+1;i++)

            A.m[1][i] = 1;

        for(i=n;i>=n-d+1;i--)

            A.m[1][i] = 1;

        for(i=2;i<=n;i++)

        {

            for(j=2;j<=n;j++)

                A.m[i][j] = A.m[i-1][j-1];

            A.m[i][1] = A.m[i-1][n];

        }

        /*for(i=1;i<=n;i++)

        {

            for(j=1;j<=n;j++)

            {

                if(min(abs(i-j),n-abs(i-j)) <= d)

                    A.m[j][i] = 1;

                else

                    A.m[j][i] = 0;

            }

        }*/

        Matrix ans = fastm(A,k);

        ans = Muti(ans,R);

        for(i=1;i<=n;i++)

            printf("%d%c",ans.m[i][1]%m,i==n?'\n':' ');

    }

    return 0;

}

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