什么是多层线性回归（层次线性模型）？

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本文介绍了多层线性回归。‍‍‍‍‍‍‍‍

再进行实证研究和数据分析时，我们经常会使用到线性回归模型。不过线性回归模型因其简单易懂而广受欢迎，但在处理一些复杂数据时，这种模型往往力不从心。就比如现实数据常常呈现出层次或分组的特征，而普通线性回归模型无法有效地解释这种内在的层次结构。为了克服这一限制，多层线性回归模型（也称为层次线性模型）应运而生。

线性回归的局限

假设我们正在研究不同学校学生的数学成绩（作为响应变量）与他们的学习时间（作为解释变量）之间的关系。如果使用传统的线性回归模型，我们可能会得到一个“全局”平均效应，即总体上学习时间每增加一个单位，数学成绩如何变化。

然而，这种方法忽略了一个关键因素：不同学校（如公立与私立）可能存在的教育资源差异、教学质量差异等因素，这些都可能影响学习时间对成绩的具体影响。普通线性回归模型在这种情况下无法给出准确的、分层次的解释。

多层线性回归模型的介绍

多层线性回归模型能够填补这一空白。它允许我们在一个统一的分析框架下，考虑数据的多个层次，有效地分析层间和层内的变异性。具体来说，这种模型包括两个或多个层级的线性回归方程，每个层级对应数据的一个特定分组。

以学校成绩为例，我们可以设定一个两层模型：

• 第一层（学生层级）：每个学生在特定学校的数学成绩与其个人学习时间的关系。

• 第二层（学校层级）：不同学校（如公立和私立）对学生的基线成绩以及学习时间对成绩影响程度。

这样不仅可以得到每个学生学习时间对其成绩的影响，还可以评估不同学校类型如何调整这种影响。

上面的介绍可能听起来有些绕口，我们后面会给出具体的数学模型进行解释。

简单来说就是多层线性回归模型允许我们将数据的复杂结构简化为多个层级的分析，每一层都独立考虑其内部变异和跨层的相互作用。

这样的模型架构非常适合于处理那些具有自然分组特性的数据集，如学生分布在不同学校中的情形。

数学模型

第一层模型 (学生层级)

对于学校  中的学生  ，其数学成绩  可以表示为:

其中，

•  是学生  在学校  的数学成绩。

•  是学生  在学校  的每日学习时间。

•  是与学校  相关的截距项，反映了该学校的基础数学成绩水平。

•  是斜率，表明在学校  中学习时间对数学成绩的影响。

•  是随机误差项，假设独立且同分布，通常服从均值为 0 的正态分布。

其实这相当于进行了固定效应回归，其中我们假设每所学校的基础成绩水平和学习时间对成绩的影响可以有所不同。

然而，这种模型仍然只是局限于每个学校内部的数据，没有考虑学校之间可能存在的系统性差异。为了更全面地解析这些层次结构，我们需要引入第二层模型。

第二层模型 (学校层级)

对于学校  的模型参数  和  ，它们自身也视为随机变量，并可以通过学校层级的变量来进行建模:

其中，

•  是学校  的类型，例如，  可以表示公立学校，而  表示私立学校。

•  和  是固定效应的截距，为不考虑学校类型时的全局平均效应。

•  和  是固定效应的斜率，表示学校类型对截距和斜率的调整作用。

•  和  是随机效应，表示在考虑了学校类型后，不同学校间存在的随机差异。

第二层模型相当于为每所学校引入了一个独特的环境因素考量，允许我们探索和量化学校类型如何系统性地影响学生的数学成绩。这样的模型设计使得我们能够更精确地理解和预测学习成效的变化。

模型的总体表达

将两层模型合并，我们可以表达一个学生的数学成绩如下:

在这个模型中：

• 第一项  表示不同学校在未考虑学习时间的情况下的基础数学成绩。

• 第二项  表示学习时间对数学成绩的影响，这一影响根据学校类型及学校特定因素（随机效应）的不同而有所差异。

•  仍然是学生个体的随机误差。

结果解读

在教育研究中，利用这种多层模型进行教育影响因素分析，比如研究者可以详细分析私立学校和公立学校在学生数学成绩方面的表现差异。

不仅可以看到整体上私立学校是否比公立学校表现得更好，还可以进一步分析是学校的哪些具体因素（如更多的资源、更优的师资等）导致了这些差异。

假设（注意这里只是一个假设数据，仅仅为了演示如何进行结果的解读）一个回归结果的参数如下：

• : 表示在不考虑学校类型的情况下，公立学校的学生平均基础数学成绩为50分。

• : 表示私立学校的学生在基础数学成绩上相比公立学校学生平均高出5分。

• : 表示在公立学校，学习时间每增加一个单位，数学成绩平均提高2分。

• : 表示在私立学校，学习时间对数学成绩的增益（相比公立学校）每增加一个单位，额外提高1分。

•  和  假设具有一定的随机方差，例如  和 。

应用与案例

多层线性回归模型在教育研究中极为常见，但其应用远不止于此。在生态学研究中，研究人员可能需要考虑个体生物、种群和生态系统三个层次的数据；

在医疗健康研究中，患者的治疗效果可能不仅受到个人因素的影响，还受到所在医疗机构的影响。通过多层模型，研究人员能更准确地识别和解释这些复杂的数据结构。——王海华

例如，假设一个国家健康研究想要评估不同地区饮食习惯对心脏疾病发病率的影响。

通过多层模型，研究者可以在地区层面评估饮食习惯的普遍影响，同时在更高的国家层面分析地区间的差异及其对全国心脏疾病发病率的可能影响。

多层线性回归模型不仅使研究人员能够探究数据的深层结构，还帮助我们理解和解释那些在传统分析方法中常被忽视的内在联系。

通过这种方式，多层模型极大地丰富了我们对复杂现象的认知，为科学研究和决策提供了更为坚实的依据。

编辑：王菁