中心极限定理

中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，独立随机变量的和（或平均值）趋向于正态分布的性质。具体来说，中心极限定理可以描述为：

定理表述：
设 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 是一组相互独立、服从相同分布的随机变量，其数学期望为 $\mu$，方差为${\sigma }^2$（有限且不为零）。那么，当 $n$ 足够大时，这组随机变量的标准化和：

$$Z_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$$
的分布将近似服从标准正态分布，即：

$$Z_n\stackrel{d}{⟶}N(0,1)$$

其中，$N(0,1)$表示期望为 0、方差为 1 的标准正态分布，$\stackrel{d}{⟶}$表示按分布收敛。

重要性：

1. 应用广泛：中心极限定理为统计推断提供了理论基础，特别是在样本量足够大时，它允许我们使用正态分布来近似计算各种分布的抽样分布。

2. 无需知道原始分布：即使我们不知道个体随机变量的具体分布，只要满足一定条件，我们仍然可以使用正态分布进行近似计算。

3. 实际应用：在许多实际问题中，数据往往来自不同的分布，但只要样本量足够大，其样本均值往往接近于正态分布，这使得中心极限定理在实际应用中非常有用。

举例说明：

假设你在投掷硬币，如果你重复投掷多次，并记录正面朝上的次数，这些结果的均值会随着投掷次数的增加趋向于正态分布。这就是中心极限定理的一个直观应用。

中心极限定理在统计学、经济学、物理学等领域有着广泛的应用，是理解和分析数据分布的重要工具。