计算机组成原理—运算器

2.1 数制与编码

2.1.1 进位计数制及其相互转换

2.1.2 *BCD编码

2.1.3 定点数的编码表示

⚫️定点数 VS 浮点数

• 定点数：小数点的位置固定；常规计数法

• 浮点数：小数点的位置不固定；科学计数法

• 定点数的表示：无符号数、有符号数

• 通常用定点补码表示整数，定点原码表示小数，移码表示浮点数的阶码

⚫️无符号数的表示

• 通常只有无符号整数，而没有无符号小数
• 表示范围（8位二进制）：2⁸种状态，0000 0000～1111 1111，0～255

⚫️有符号数的表示（原码、反码、补码、移码）

• 定点整数：符号位+数值部分（尾数）+小数点位置（隐含）

• 定点整数：符号位+小数点位置（隐含）+数值部分（尾数）

• 可用原码、反码、补码三种方式来表示定点整数和定点小数，还可用移码表示定点整数

• 原码：用尾数表示真值的绝对值，符号位“0/1”对应“正/负”；真值0有+0和-0两种

• 反码：若为正数，则反码与原码相同；若为负数，则数值位全部取反；真值0有+0和-0两种

• 补码：若为正数，则补码与原码相同；若为负数，则为反码末位+1，即原码数值位取反+1（要考虑进位）；真值0只有一种表现形式（0000 0000）；定点整数补码1,000 0000表示-2⁷，定点小数补码1.000 0000表示-1
  （负数补码转原码方法相同，尾数取反，末位+1）

• 移码：补码的基础上将符号位取反；移码只能用于表示整数；真值0只有一种表示形式1000 0000

⚫️原码、反码、补码、移码的作用

• 补码：让减法操作变为加法操作，ALU中无需集成减法器，节省硬件成本；执行加法操作时，符号位一起参与运算
• 移码：表示的整数很方便对比大小

2.1.4 整数的表示

• 无符号整数：可用无符号整数进行地址运算，或用它来表示指针
• 无符号小数：计算机中的带符号整数都用补码表示

2.2 运算方法和运算电路

2.2.1 基本运算部件

⚫️一位全加器

• 全加器（FA）是最基本的加法单元

（～P035 图3.5 一位全加器）

• 逻辑表达式

（～P035 和表达式；进位表达式）

⚫️串行进位加法器

• 只有一个全加器，数据逐位串行送入加法器中进行运算
• 进位触发器用来寄存进位信号，以便参与下一次运算
• （只能一位一位地加）

⚫️并行进位加法器

• 把n个全加器串接起来，就可以进行两个n位数的相加
• （可多位同时加）

⚫️算数逻辑单元ALU

• 作用：算数运算、逻辑运算、辅助功能（移位、求补等）
• 原理：ALU的核心是带标志加法器，同时也能执行“与”“或”“非”
• 加法器的设计（门电路组合）

（～P037 图2.7 ALU的基本结构 图2.8 一位ALU的结构）

• *奇偶校验码

2.2.2 定点数的移位运算

⚫️算数移位

• 原码（符号位不变，仅对数值位移位）
  算数右移：除以基数的n次方；高位补0，可能丢失精读
  算数左移：乘以基数对n次方；低位补0，可能出现严重误差"
• 反码：正数同原码，负数补1
• 补码：正数同原码，负数补码中，最右边的1及其右边同原码，其余左边同反码（符号位不参与移位，左移补0，右移补1）

⚫️逻辑移位

• 逻辑右移：高位补0，地位舍弃
• 逻辑左移：地位补0，高位舍弃
• （可看作是“无符号数”动算数移位）

⚫️循环移位

• 适用于将数据的低字节数据和高字节数据互换

2.2.3 定点数的加减运算

⚫️补码的加减法运算

⚫️补码加减运算电路

• 加法X+Y：按位相加
• 减法X-Y：Y全部按位取反，末位+1，得到[-Y]补，减法变加法
• （无符号数的加法/减法也可用该电路实现，但判断溢出的方式不同）

（～P040 图2.10 补码加减运算部件）

⚫️溢出判别方法

• 溢出标志OF：溢出为1，否则置0（只对有符号数的加减）
  OF=最高位产生的进位 异或 次高位产生的进位
• 符号标志SF：负为1，正为0（只对有符号数的加减）
  SF=最高位的本位和
• 零标志ZF：=1结果为0，=0结果不为0
  ZF看两个运算结果的n bit是否全为0
• 进位/借位标志CF：溢出为1，否则为0（只对无符号数的加减）
  CF=最高位产生的进位 异或 sub（sub=1减法，sub=0加法）

2.2.4 定点数的乘除运算

⚫️乘法运算

• 实现思想：“累加—右移”，可分为原码一位乘法和补码一位乘法

原码一位乘法

（～课 2.2_6_1）

• 进行n轮加法、移位
• 每次加法可能+0、+[x]原，根据MQ的最低位
• 每次移位是“逻辑右移”
• （ 符号位异或运算； 小数和整数运算类似，仅小数点位置不同）

补码一位乘法

• 进行n轮加法、移位，最后再多来一次加法
• 每次移位是“补码的算数右移”
• 每次加法可能+0、+[x]补、+[-x]补，根据辅助位-MQ的最低位
• （被除数为双符号位补码；除数是单符号位补码，多一位辅助位；算数右移：正数00右移补0，负数11右移补1）

⚫️除法运算

• 实现思想：“累加—左移”（逻辑左移），分为原码除法和补码除法

原码除法（恢复余数法）

• 上商0/1，得到余数，余数末位补0（会先默认上商1，如果错误再商0，并恢复余数）
• （如果余数为负数1，说明应该上商0；若一步动余数为负，也需要恢复余数并商0）

原码除法（加减交替法/不恢复余数法）

• 若余数为负，可直接商0，并让余数左移1位再加上|除数|，得到下一个新余数
• 若余数为正，则商1，让余数左移一位再减去|除数|，得到下一个新余数

补码除法（加减交替法）

（～课 2.2_7_2）

• （符号位参与运算；被除数、余数、除数采用双符号位）
• 若被除数和除数同号，被除数减去除数；若为异号，被除数加上除数
• 若余数和除数同号，则商1，余数左移一位减去除数；若为异号，则商0，余数左移一位加上除数
• 重复上一步n次，精度无要求用“末位恒置1”法

2.2.5 C语言类型转换

• 有符号数和无符号数的转换：不改变数据内容，改变解释方式
• 长整数变短整数：高位截断，保留低位

2.2.6 数据的存储和排列

⚫️“大端模式”和“小端模式”

• 大端模式：便于人类阅读
• 小端模式：便于机器处理，从最低有效字节LSB到最高有效字节MSB的顺序存储

⚫️“边界对齐”

• 边界对齐：浪费了一些存储空间，但提高了取指令和取数的速度，访问一个字/半个字都只需一次访存
• 边界不对齐：可充分利用存储空间，但访问一个字/半个字可能需要两次访存

2.3 浮点数的表示与运算

2.3.1 浮点数的表示

⚫️浮点数的表示格式

• 数符：S 取值0或1
• 阶码：E 常用补码或移码表示的定点整数，阶码的底通常为2（反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置）
• 尾数：M 常用原码或补码表示的定点小数（反映浮点数的精度）

⚫️*浮点数的表示范围

（～P061 图2.18 浮点数的表示范围）

⚫️浮点数的规格化

• 规格化：通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零的浮点数在尾数的最高位上保证是一个有效值
• 左规：尾数算数左移1位，阶码减1；进行多次，直到尾数最高位是有效值
• 右规：当浮点数运算结果尾数出现溢出（双符号位为01或10时；此处采用“双符号位”，当发生溢出时可以挽救）；尾数算数右移1位，阶码加1；只需要进行一次
• 原码表示尾数的规格化：正数0.1…形式，负数1.1…形式
• 补码表示尾数的规格化：正数0.1…形式，负数1.0…形式
• （补码规格化时，算数左移，低位补0；算数右移，高位补1）"

⚫️IEEE754标准

• 阶码：E 用移码表示，令偏置值=127D=0111 1111B（阶码1111 1111(-128)、0000 0000(-127)用做特殊用途，正常范围-126～127）

• 尾数：M 用原码表示，隐藏表示最高位1，尾数真值为1.M

• IEEE754标准规定常用浮点数格式有：短浮点数（单精度、float型）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数

• 短浮点数的真值为：(-1)^Sx1.Mx2^E-127

• 长浮点数的真值为：(-1)^Sx1.Mx2^E-1023

（～P062 表2.4 IEEE754浮点数的格式）

⚫️定点、浮点表示的区别

• 数值的表示范围：浮点数>定点
• 精读：浮点数<定点
• 数的运算：浮点数包括阶码和尾数的运算，并需规格化
• 溢出问题：浮点数只有规格化后，阶码超出，才发生溢出

2.3.2 浮点数的加减运算

⚫️运算步骤（5步）

1. 对阶：以小阶向大阶看起，尾数算数右移
2. 尾数加减
3. 规格化：左规/右规
4. 舍入：0舍1入、恒置1法、截断法
5. 判溢出：阶码超过两位，发生溢出