博弈论笔记总结

---

一、四大博弈模型

1. 巴什博弈（Bash Game）

Problem
一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

Solution
结论：若n%(m+1)==0，则后手赢，否则先手赢。

Proof

1. 若 n <= m 显然先手胜。
2. 若 n == m+1，则无论先手取1~m中多少个，后手总能取完，即后手必胜。
3. 若 （m+1）| n，则先手取x个（x=1~m），后手取 （m+1-x）个，总能到达情况2；若不整除，则先手可取余数，后手变为整除情况，即先手必胜。

Code

if (n % (m + 1))
    puts("first win");
else
    puts("second win");

Practice
Brave Game（模板题）
kiki’s game(PN状态转巴什博弈）
Public Sale(变形)
悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者

2. 斐波那契博弈 （Fibonacci Game）

Problem
有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：

(1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；

(2)之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

Solution
结论：先手必败，当且仅当石子数为斐波那契数。

Proof
先证明必要性，斐波那契数一定先手必败，可以用数学归纳法，大致思路就是一定能拆成两堆斐波那契数，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗
然后证明充分性，由“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和，那么就回到了斐波那契数列里。
具体证明：斐波那契博弈（Fibonacci Nim）

Code

int f[N];
map<int,bool>mp;
int main()
{
   
	f[1]=f[2]=1;
	for(i=3;i<=N;++i)
	{
   
		f[i]=f[i-1]+f[i-2];
		mp[f[i]]=1;
	}
	while(scanf("%d", &x) && x != 0)
		puts(mp[x] == 1 ? "Second win" : "First win");

}

Practice