欧几里得拓展算法之RSA加密算法的Java实现

1. 算法简介

RSA(Rivest-Shamir-Adleman)是一种非对称加密算法,常用于数据的加密和解密。它依赖于一个大素数的因数分解问题,即将一个非常大的数字分解为两个较小的质数。RSA算法由三个主要步骤组成:密钥生成、加密和解密。

2. 基本原理

RSA算法的基本原理是利用质数因子分解的困难性实现加解密过程。具体而言,密钥生成包括选择两个大素数p和q,计算N = p * q,并选择公钥e,其中1 < e < φ(N),且e与φ(N)互质。然后计算私钥d,使得d * e ≡ 1 (mod φ(N))。

加密过程中,将明文M通过公钥加密得到密文C,即C ≡ M^e (mod N)。

解密过程中,将密文C通过私钥解密得到明文M,即M ≡ C^d (mod N)。

RSA算法的原理主要涉及以下几个步骤:

选择两个大素数p和q,计算它们的乘积N。

计算(p-1)和(q-1)的最小公倍数L。

找到一个满足条件1 < E < L且gcd(E, L) = 1的数,作为公钥的一部分。

计算一个满足条件1 < D < L且E * D mod L = 1的数,作为私钥的一部分。

加密明文M:C ≡ M^E (mod N)。

解密秘文C:M ≡ C^D (mod N)。

3. 代码

public class RSA {

private final long maxWait = 10000; // 最长等待时间,单位为毫秒

/**
 * 求N
 * 计算两个大素数p和q的乘积N
 * @param p 素数p
 * @param q 素数q
 * @return 乘积N
 */
private BigInteger getN(BigInteger p, BigInteger q) {
	return p.multiply(q);
}

/**
 * 求L
 * 计算p-1和q-1的最小公倍数L
 * @param p 素数p
 * @param q 素数q
 * @return 最小公倍数L
 */
private BigInteger getL(BigInteger p, BigInteger q) {
	BigInteger m = p.subtract(BigInteger.ONE);
	BigInteger n = q.subtract(BigInteger.ONE);
	return GCD.get_lcm(m, n);
}

/**
 * 求E
 * 找到一个满足条件1 < E < L且gcd(E, L) = 1的数
 * @param p 素数p
 * @param q 素数q
 * @param L 最小公倍数L
 * @return 数字E
 */
public BigInteger getE(BigInteger p, BigInteger q, BigInteger L) {
	BigInteger E = null;
	int i = 4;
	long start = System.currentTimeMillis();
	while (System.currentTimeMillis() - start < maxWait && E == null) {
		E = L.divide(BigInteger.valueOf(i)).nextProbablePrime();
		if (E.compareTo(L) > 0) {
			E = null;
			i++;
		}
	}
	return E;
}

/**
 * 生成秘钥,并返回公钥和私钥
 * @param p 素数p
 * @param q 素数q
 * @return [n, e, d] 公钥和私钥数组,n为乘积N,e为公钥,d为私钥
 */
public BigInteger[] genKey(BigInteger p, BigInteger q) {
	BigInteger[] result = new BigInteger[3];
	BigInteger N = getN(p, q);
	// 计算L会比较慢
	BigInteger L = getL(p, q);
	BigInteger E = getE(p, q, L);
	BigInteger OL = p.subtract(BigInteger.ONE).multiply(q.subtract(BigInteger.ONE));

	// 计算D,要求 1 < D < L,且 E * D mod L = 1,这里用到了扩展欧几里得算法
	BigInteger[] rxy = GCD.extend_gcd(OL, E);
	BigInteger D = rxy[2];

	result[0] = N;
	result[1] = E;
	result[2] = D;
	return result;
}

/**
 * 加密
 * @param M 明文
 * @param pubkey 秘钥数组,包含n和e
 * @return 密文
 * 加密算法:密文 ≡ 明文^e (mod n)
 */
public BigInteger encrypt(BigInteger M, BigInteger[] pubkey) {
	BigInteger N = pubkey[0];
	BigInteger E = pubkey[1];
	return Montgomery.montgomery(M, E, N);
}

/**
 * 解密
 * @param C 秘文
 * @param prikey 秘钥数组,包含n和d
 * @return 明文
 * 解密算法:明文 ≡ 秘文^d (mod n)
 */
public BigInteger decrypt(BigInteger C, BigInteger[] prikey) {
	BigInteger N = prikey[0];
	BigInteger D = prikey[2];
	return Montgomery.montgomery(C, D, N);
}

public static void main(String[] args) {
	// 使用两个大素数p和q
	BigInteger p = new BigInteger("106697219132480173106064317148705638676529121742557567770857687729397446898790451577487723991083173010242416863238099716044775658681981821407922722052778958942891831033512463262741053961681512908218003840408526915629689432111480588966800949428079015682624591636010678691927285321708935076221951173426894836169");
	BigInteger q = new BigInteger("144819424465842307806353672547344125290716753535239658417883828941232509622838692761917211806963011168822281666033695157426515864265527046213326145174398018859056439431422867957079149967592078894410082695714160599647180947207504108618794637872261572262805565517756922288320779308895819726074229154002310375209");

	RSA rsa = new RSA();
	// 生成秘钥
	BigInteger[] genKey = rsa.genKey(p, q);
	System.out.println("N:" + genKey[0] + " \t\nE:" + genKey[1] + " \t\nD:" + genKey[2]);

	// 加密数据
	String plaintextString = "Hello, RSA!";
	System.out.println("明文:" + plaintextString);
	BigInteger m = new BigInteger(plaintextString.getBytes()); // 将明文字符串转换为BigInteger
	// 信息加密
	BigInteger c = rsa.encrypt(m, genKey);
	System.out.println("密文:" + c);

	// 信息解密
	BigInteger d = rsa.decrypt(c, genKey);
	String decryptedString = new String(d.toByteArray()); // 将解密后的BigInteger转换为字符串
	System.out.println("明文: " + decryptedString);
}

}

以上是使用Java编程语言改写的RSA加密算法实现代码示例。通过调用main方法,可以看到RSA算法的加密和解密过程,以及生成的公钥和私钥。

请注意,这只是一个简单的示例代码,真实的RSA实现要考虑更多的细节和安全性。

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