完整集合经验模态分解（CEEMD）详解

完整集合经验模态分解（CEEMD）详解

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目录

1. 前言
2. 从EMD到EEMD再到CEEMD
   1. EMD（经验模态分解）回顾
   2. EEMD（集合经验模态分解）的改进与不足
3. CEEMD（完整集合经验模态分解）的原理
   1. 噪声对（noise pairs）与对称性
   2. CEEMD的核心数学表达式
   3. 与EEMD的主要区别
4. CEEMD算法流程与公式
5. CEEMD分解过程中的详细推导
   1. 正负噪声加法及EMD展开
   2. IMF的最终计算公式
   3. 残差的平均处理
6. CEEMD的优点与局限性
7. 数值示例：CEEMD在信号分析中的应用
8. 总结

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前言

CEEMD（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition）是在EMD/EEMD的基础上进一步提升分解精度与稳定性的一种自适应信号分解算法。通过向原始信号添加正负成对的噪声并分别进行EMD分解，再对所有分解结果进行“对内平均”与“整体平均”，CEEMD可以在更大程度上抵消随机噪声的干扰，从而显著降低模态混叠（mode mixing）与重构误差。它在故障诊断、地震勘探、生物医学信号处理等领域有广泛应用价值。

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从EMD到EEMD再到CEEMD

EMD（经验模态分解）回顾

EMD是Huang等人提出的，用于将非线性、非平稳信号自适应地分解成若干个本征模态函数（IMF）以及一个剩余（Residue）。

• 对信号 $x(t)$：
  $$x(t)=\sum _{k=1}^K{\mathrm{IMF}}_k(t)+r(t).$$
• 获得每个IMF的关键在于**Sifting（筛分）**过程。对于当前信号（或剩余） $x(t)$：
  1. 找出所有极大值和极小值。
  2. 分别用插值得到上包络 $u(t)$ 和下包络 $l(t)$，计算平均线
     $$m(t)=\frac{u(t)+l(t)}{2}.$$
  3. 去掉该平均线：
     $$h_1(t)=x(t)-m(t).$$
     检查 $h_1(t)$ 是否满足IMF条件（如过零点与极值数差不超过1、上包络与下包络局部对称等），若不满足则继续插值、再减平均线，经过若干迭代得到首个IMF：
     $${\mathrm{IMF}}_1(t).$$
  4. 将 ${\mathrm{IMF}}_1(t)$ 从 $x(t)$ 中减去得到剩余 $r_1(t)$，然后对 $r_1(t)$ 重复同样操作，直到剩余无明显振荡为止。

EMD虽然在理论上很好地保留了信号的瞬时特性，但易出现模态混叠（不同频率成分混在同一IMF里）与插值敏感等问题。

EEMD（集合经验模态分解）的改进与不足

EEMD通过在信号中添加白噪声并多次分解：

1. 每次添加随机噪声 ${ϵ}_i(t)$ 得到 $x_i(t)=x(t)+\alpha {ϵ}_i(t)$。
2. 对每个 $x_i(t)$ 做EMD，获取 IMF。
3. 对相同阶IMF做平均，得到最终分解。

EEMD的优点：

• 通过对噪声的统计平均，可以部分抵消噪声引起的分解偏差，抑制模态混叠。

然而，EEMD仍可能存在：

1. 残余噪声偏差：噪声幅度和试验次数选择不当，会在IMF中留下轻微偏差。
2. 重构误差：对信号进行重构时，有时无法完全恢复到原信号，存在微小差异。

为进一步减少这种偏差，CEEMD提出了“噪声对”的概念。

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CEEMD（完整集合经验模态分解）的原理

噪声对（noise pairs）与对称性

在CEEMD中，每一次试验并不是只添加单边噪声，而是对同一个噪声信号 ${ϵ}_i(t)$ 同时添加正、负幅度，得到一对带噪信号：
$$x_i^{+}(t)=x(t)+\alpha {ϵ}_i(t),x_i^{-}(t)=x(t)-\alpha {ϵ}_i(t).$$
正负噪声对的思想是：如果噪声是独立同分布且均值为0，那么在对称的加减操作下，相当于让噪声对IMF的贡献在统计上“更好地抵消”，从而能在重构时获得更精确的结果。

CEEMD的核心数学表达式

假设我们进行 $N$ 组噪声对试验，那么每一对（第 $i$ 对）有：
$$x_i^{+}(t)=x(t)+\alpha {ϵ}_i(t),x_i^{-}(t)=x(t)-\alpha {ϵ}_i(t),$$
其中 $\alpha$ 为噪声强度因子，${ϵ}_i(t)$ 为白噪声。对 $x_i^{+}(t)$ 与 $x_i^{-}(t)$ 分别进行EMD分解可得若干IMF序列：
$$x_i^{+}(t)=\sum _{k=1}^{K_i^{+}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+r_i^{+}(t),x_i^{-}(t)=\sum _{k=1}^{K_i^{-}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)+r_i^{-}(t).$$
最后，对相同阶次的IMF做“对内平均”与“整体平均”：
$${\mathrm{IMF}}_k(t)=\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N[{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)].$$
可见，正负噪声会在最终求和时呈现相反符号，对信号主体的贡献却相互抵消噪声偏差，从而达到比EEMD更好的分解稳健性和重构精度。

与EEMD的主要区别

1. 噪声加法：EEMD每次加的是同向噪声；CEEMD则加的是对称噪声（+噪声和-噪声）。
2. 误差抵消：CEEMD在理论上能更彻底地抵消噪声干扰，重构信号时的偏差更小，得到更准确的IMF。
3. 计算量更大：CEEMD每组噪声要进行2次EMD（正噪声与负噪声），若原本EEMD就需要 $N$ 次试验，则CEEMD需要做 $2N$ 次EMD，计算成本更高。

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CEEMD算法流程与公式

总结上述思想，CEEMD的具体操作通常如下：

1. 参数设置

   • 设定试验次数 $N$，以及噪声强度 $\alpha$。
   • 常见做法：$\alpha$ 为信号标准差的一定比例（如0.1~0.4倍）。

2. 构造噪声对

   • 生成 $N$ 组彼此独立的白噪声序列 ${ϵ}_1(t),{ϵ}_2(t),\dots ,{ϵ}_N(t)$。
   • 对第 $i$ 组，构造：
     $$x_i^{+}(t)=x(t)+\alpha {ϵ}_i(t),x_i^{-}(t)=x(t)-\alpha {ϵ}_i(t).$$

3. EMD分解

   • 分别对 $x_i^{+}(t)$ 和 $x_i^{-}(t)$ 做EMD：
     $$x_i^{+}(t)=\sum _{k=1}^{K_i^{+}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+r_i^{+}(t),$$
     $$x_i^{-}(t)=\sum _{k=1}^{K_i^{-}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)+r_i^{-}(t).$$
   • $K_i^{+}$ 与 $K_i^{-}$ 分解得到的IMF数可能不一致，需做对齐（比如对较短的IMF序列补零，或对多余的阶次舍弃）。

4. 对IMF做平均

   • 对同一对噪声（第 $i$ 对）先做内部平均：
     $${\mathrm{IMF}}_k^{(i)}(t)=\frac{{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)}{2}.$$
   • 再对所有 $i=1,2,\dots ,N$ 做整体平均：
     $${\mathrm{IMF}}_k(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\mathrm{IMF}}_k^{(i)}(t)=\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N[{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)].$$

5. 残差处理

   • 类似对IMF的处理方式，残差 $r_i^{+}(t),r_i^{-}(t)$ 也可先做对内平均，再对所有对求平均，得到最终残差 $\hat{r}(t)$。

6. 重构信号

   • 最终，CEEMD分解形式可写为：
     $$x(t)\approx \sum _{k=1}^K{\mathrm{IMF}}_k(t)+\hat{r}(t).$$
   • 在理论上，当 $N$ 足够大、噪声幅度合适、EMD分解精确时，这一重构有较高的准确度。

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CEEMD分解过程中的详细推导

正负噪声加法及EMD展开

设原信号 $x(t)$，我们添加幅度为 $\alpha$ 的噪声对 ${ϵ}_i(t)$，则
$$x_i^{+}(t)=x(t)+\alpha {ϵ}_i(t),x_i^{-}(t)=x(t)-\alpha {ϵ}_i(t).$$
对各自进行EMD展开：
$$x_i^{+}(t)=\sum _{k=1}^{K_i^{+}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+r_i^{+}(t),$$
$$x_i^{-}(t)=\sum _{k=1}^{K_i^{-}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)+r_i^{-}(t).$$
因为噪声对往往引起信号极值分布的扰动，$K_i^{+}$ 与 $K_i^{-}$ 可能不同，但为了后续平均，我们会在实现上做阶数统一。

IMF的最终计算公式

对同一阶 $k$ 而言（经过对齐操作），将正噪声EMD与负噪声EMD的对应IMF做平均：
$${\mathrm{IMF}}_k^{(i)}(t)=\frac{1}{2}[{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)].$$
然后，对所有 $N$ 对做整体平均，即
$${\mathrm{IMF}}_k(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\mathrm{IMF}}_k^{(i)}(t)=\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N[{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)].$$
这就是CEEMD的核心IMF平均公式。由于 ${ϵ}_i(t)$ 为白噪声且在 $+/-$ 的形式出现，其对分解的偏移贡献会在统计意义上大幅抵消。

残差的平均处理

对残差（也称剩余）同理，若在第 $i$ 对试验的EMD结果中有
$$r_i^{+}(t)=x_i^{+}(t)-\sum _{k=1}^{K_i^{+}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t),r_i^{-}(t)=x_i^{-}(t)-\sum _{k=1}^{K_i^{-}}{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t),$$
则先做对内平均：
$$r_i(t)=\frac{r_i^{+}(t)+r_i^{-}(t)}{2},$$
再对 $i=1,\dots ,N$ 做整体平均：
$$\hat{r}(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{r}_i(t).$$
从而得到CEEMD的最终残差 $\hat{r}(t)$。如果在数值上剩余的能量已很小，也可以忽略不计。

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CEEMD的优点与局限性

优点

1. 更好的重构精度：与EEMD相比，CEEMD通过加噪声对的方式，能更彻底地抵消噪声对IMF的偏差，减少重构误差。
2. 模态混叠更少：在对称噪声干预下，极值点分布会更加分散均匀，分解到的IMF分量往往频率特征更清晰，模态之间的能量泄漏更小。
3. 稳定性好：多次实验显示，CEEMD在不同试验下得到的结果波动较小，可重复性好。

局限性

1. 计算量更大：CEEMD相当于对每组噪声要做2次EMD，整体耗时是EEMD的2倍（甚至更高），在大规模数据上需合理安排。
2. 噪声幅度与试验次数选择：若噪声幅度 $\alpha$ 过小，则扰动不足以打破信号的原始极值结构；过大则引入过多随机波动；$N$ 太小平均不充分，太大则计算量飙升。
3. 端点插值和IMF阶对齐问题：本质上仍基于EMD，需要在插值和阶对齐策略上多加注意。

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数值示例：CEEMD在信号分析中的应用

下面给出一个合成信号示例：
$$x(t)=\sin (2\pi \cdot 5t)+0.5\sin (2\pi \cdot 20t)+0.2\mathrm{randn}(t),$$
其中 $\mathrm{randn}(t)$ 表示白噪声。

1. 设置CEEMD参数
   • 选噪声对数 $N=100$，噪声强度 $\alpha =0.3$（基于信号标准差的经验设置）。
2. 构造噪声对并做EMD
   • 对每个 $i\in \{1,\dots ,100\}$，生成 ${ϵ}_i(t)$，构造
     $$x_i^{+}(t)=x(t)+0.3{ϵ}_i(t),x_i^{-}(t)=x(t)-0.3{ϵ}_i(t).$$
   • 分别对 $x_i^{+}(t)$ 与 $x_i^{-}(t)$ 做EMD分解。
3. 对IMF进行平均
   • 得到各阶IMF，先对同一个 $i$ 的正负分解结果做加和/2，然后再对所有 $i$ 求平均，得到CEEMD-IMFs：
     $${\mathrm{IMF}}_k(t)=\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N[{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)].$$
4. 分析结果
   • 常见情况下，第一层IMF会主要包含20Hz的成分（加上一点噪声），第二层IMF会对应5Hz的分量，后续IMF或残差可能捕捉到更低频或趋势信息。
   • 与EMD/EEMD相比，CEEMD可见模态间的重叠更少，重构后的误差更小。

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总结

CEEMD（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition）是在EEMD的思路基础上，采用正负噪声对以进一步强化噪声抵消效果，提高分解的稳定性与重构精度。其核心公式可概括为：

1. 噪声对添加：对第 $i$ 组白噪声 ${ϵ}_i(t)$，构造
   $$x_i^{+}(t)=x(t)+\alpha {ϵ}_i(t),x_i^{-}(t)=x(t)-\alpha {ϵ}_i(t).$$
2. EMD分解：对 $x_i^{+}(t)$ 和 $x_i^{-}(t)$ 分别进行EMD，得到 ${\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)$ 与 ${\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)$。
3. IMF平均：
   $${\mathrm{IMF}}_k(t)=\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N[{\mathrm{IMF}}_k^{(i,+)}(t)+{\mathrm{IMF}}_k^{(i,-)}(t)].$$

相较EEMD，CEEMD在保证对信号非平稳特征进行自适应分解的同时，能获得更低的重构误差与更稳定的模态分量。然而，其计算量增加约一倍，参数（噪声幅度、试验次数等）依然需要根据经验或数据特点进行选择。