力扣222题详解：完全二叉树的节点个数的多种解法与模拟面试
在本篇文章中，我们将详细解读力扣第222题“完全二叉树的节点个数”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用多种方法来解决这一问题，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。
问题描述
力扣第222题“完全二叉树的节点个数”描述如下：
给你一棵完全二叉树的根节点，求出该树的节点个数。
完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最后一层外，其他每一层的节点数都是满的，并且最后一层的节点都尽可能地集中在最左侧。
示例:
输入: root = [1,2,3,4,5,6] 输出: 6示例:
输入: root = [] 输出: 0
解题思路
方法一：暴力法（遍历整个树）
-
初步分析：
- 使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）遍历整棵树，统计节点的数量。
-
步骤：
- 如果树为空，则返回 0。
- 使用递归或队列遍历整个树，在遍历过程中累加节点数。
代码实现
def countNodes(root):
if not root:
return 0
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right)
# 测试案例
class TreeNode:
def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right
root = TreeNode(1, TreeNode(2, TreeNode(4), TreeNode(5)), TreeNode(3, TreeNode(6)))
print(countNodes(root)) # 输出: 6
方法二：利用完全二叉树的特性（递归 + 位运算）
-
初步分析：
- 对于完全二叉树，如果左子树的高度等于右子树的高度，则左子树是满二叉树，可以直接计算节点数。如果左子树的高度大于右子树的高度，则右子树是满二叉树，同样可以直接计算节点数。
-
步骤：
- 递归计算左右子树的高度。
- 如果左子树的高度等于右子树的高度，则左子树为满二叉树，右子树可能是完全二叉树。递归计算右子树的节点数，并加上左子树的节点数。
- 如果左子树的高度大于右子树的高度，则右子树为满二叉树，左子树可能是完全二叉树。递归计算左子树的节点数，并加上右子树的节点数。
代码实现
def countNodes(root):
if not root:
return 0
left_height = right_height = 0
left, right = root, root
while left:
left = left.left
left_height += 1
while right:
right = right.right
right_height += 1
if left_height == right_height:
return (2 ** left_height) - 1
else:
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right)
# 测试案例
root = TreeNode(1, TreeNode(2, TreeNode(4), TreeNode(5)), TreeNode(3, TreeNode(6)))
print(countNodes(root)) # 输出: 6
复杂度分析
- 时间复杂度：
- 暴力法：O(n)，其中 n 是二叉树的节点数。需要遍历整个树。
- 利用完全二叉树的特性：O(log^2 n)，其中 n 是二叉树的节点数。每次计算高度需要 O(log n) 的时间，共进行 O(log n) 次递归。
- 空间复杂度：
- 暴力法：O(n)，递归调用栈的深度等于二叉树的高度，最坏情况下为 O(n)。
- 利用完全二叉树的特性：O(log n)，递归调用栈的深度为二叉树的高度，即 O(log n)。
模拟面试问答
问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？
回答：我们可以使用两种方法来解决这个问题。第一种方法是暴力遍历整棵树，统计节点数；第二种方法利用完全二叉树的特性，通过递归计算子树的节点数，并结合二分查找或位运算来优化计算过程。
问题 2：为什么选择利用完全二叉树的特性来优化算法？
回答：完全二叉树具有结构上的特性，通过这些特性可以大幅度减少计算节点数的时间。具体来说，利用左右子树的高度关系可以判断某个子树是否是满二叉树，进而直接计算出该子树的节点数，而不需要遍历整个子树。
问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？
回答：暴力法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。利用完全二叉树的特性的优化方法，时间复杂度为 O(log^2 n)，空间复杂度为 O(log n)。
问题 4：在代码中如何处理边界情况？
回答：如果树为空，则直接返回 0，因为没有节点。对于单节点的树，算法也能正常处理，通过递归或迭代自然地统计节点数。
问题 5：你能解释一下利用完全二叉树特性的方法的具体步骤吗？
回答：首先，我们计算左右子树的高度。如果左右子树高度相同，那么左子树一定是满二叉树，节点数可以直接通过公式计算，然后递归计算右子树的节点数。如果左右子树高度不同，那么右子树一定是满二叉树，节点数同样可以通过公式计算，然后递归计算左子树的节点数。最终通过递归合并结果得到整棵树的节点数。
问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？
回答：通过对每个节点递归地判断左右子树的高度关系，并利用完全二叉树的特性优化计算过程，确保每个子树的节点数计算都是准确的。递归的基础条件和合并结果都经过严格验证，保证最终结果的正确性。
问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？
回答：在面试中，如果被问到如何优化算法，我会先分析当前算法的时间复杂度和空间复杂度，然后提出优化方案。例如，在处理完全二叉树节点计数问题时，可以利用其高度对称性，通过减少遍历次数和利用数学公式来优化节点计数。最后，我会提供优化后的代码实现，并解释其改进的具体细节。
问题 8：如何验证代码的正确性？
回答：通过运行多组测试用例验证代码的正确性，特别是边界情况的测试，如空树、单节点树、满二叉树等。确保每个测试用例的结果都符合预期，并且代码在各种情况下都能正确运行。此外，还可以手工推演一些简单的例子来验证代码逻辑。
问题 9：你能解释一下解决“完全二叉树的节点个数”问题的重要性吗？
回答：解决“完全二叉树的节点个数”问题在二叉树的处理与优化中具有重要意义。完全二叉树是二叉树的一种特殊形式，具有较高的计算效率。通过理解和应用这个问题的解决方案，可以帮助我们在处理更复杂的树结构时，设计出更高效的算法，特别是在大数据处理、并行计算、数据库索引等领域。
问题 10：在处理大数据集时，算法的性能如何？
回答：在处理大数据集时，暴力法的时间复杂度为 O(n)，随着数据规模的增加，计算时间会线性增加。利用完全二叉树特性的优化方法时间复杂度为 O(log^2 n)，在大数据集下具有更好的性能表现。通过减少不必要的遍历操作和利用数学公式计算节点数，可以显著提高算法的效率。
总结
本文详细解读了力扣第222题“完全二叉树的节点个数”，通过使用暴力法和利用完全二叉树特性的优化方法高效地解决了这一问题，并提供了详细的解释和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题