数学基础 -- 线性代数之增广矩阵

增广矩阵

增广矩阵（Augmented Matrix）是在求解线性方程组时常用的工具。它将线性方程组的系数矩阵与常数项合并在一起，形成一个扩展的矩阵，从而便于使用矩阵操作方法求解方程组。

定义

假设我们有一个线性方程组：

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ ⋮& \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

其对应的系数矩阵 $A$ 是：

A = ( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮amn​​ ​

常数项列矩阵 $B$ 是：

B = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} B= ​b1​b2​⋮bm​​ ​

增广矩阵就是将系数矩阵和常数项列矩阵合并，构成的一个新的矩阵 $[A|B]$ 形式：

[ A ∣ B ] = ( a 11 a 12 … a 1 n ∣ b 1 a 21 a 22 … a 2 n ∣ b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∣ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ∣ b m ) [A|B] = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix} [A∣B]= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮amn​​∣∣∣∣​b1​b2​⋮bm​​ ​

用途

增广矩阵在求解线性方程组中非常有用。通过对增广矩阵进行初等行变换（类似高斯消元法），可以将其化为简化的形式，从而得出线性方程组的解。这种方法简化了手动处理多个方程的复杂性，尤其在使用计算机算法时非常高效。

解法步骤（使用增广矩阵求解线性方程组）

1. 构建增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数项矩阵结合为增广矩阵。
2. 进行初等行变换：对增广矩阵进行高斯消元或高斯-约当消元，将其化为行简化阶梯形矩阵。
3. 提取解：根据化简后的矩阵形式，可以直接得出方程组的解。

增广矩阵的好处在于，它使得整个求解过程可以通过矩阵操作来完成，减少了繁琐的方程处理过程。