对经典动态规划问题【爬台阶】的一些思考

背景

今天在做Leetcode题目时,做到了一道经典的动态规划问题:爬楼梯,题目的大致意思很简单,有个小孩正在上楼梯,楼梯有n阶台阶,小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法,计算小孩有多少种上楼梯的方式。在考虑这个问题的时候本人产生了以下的思考。

自己的思考

上4阶台阶=上1阶台阶方法和上3阶台阶方法之和+上2阶台阶方法和上2阶台阶方法之和+上3阶台阶方法和上1阶台阶方法之和,这种思路对吗?

对思路的验证

这种思路实际上是在尝试将问题分解为多个独立的情况,但这里存在一个逻辑错误。

我的思路中的错误在于,将“上2阶台阶的方法数”重复计算了两次,一次是作为到达第3阶台阶后上1阶(此时有一种情况是先上2阶,再上1阶,到达第3阶,最后再上1阶),另一次是作为到达第2阶台阶后上2阶(先上2阶,后面2阶分两次1阶)。实际上,到达第4阶台阶的方法数应该只计算一次“上2阶台阶”的情况。

正确的思路

让我们分析一下正确的思路:

  1. 上1阶台阶的方法数:到达第4阶台阶,你可以先上1阶,然后剩下的是上3阶台阶的方法数,即 dp[3]

  2. 上2阶台阶的方法数:到达第4阶台阶,你可以先上2阶,然后剩下的是上2阶台阶的方法数,即 dp[2]

  3. 上3阶台阶的方法数:到达第4阶台阶,你可以先上3阶,然后剩下的是上1阶台阶的方法数,即 dp[1]

正确的状态转移方程应该是:

d p [ n ] = d p [ n − 1 ] + d p [ n − 2 ] + d p [ n − 3 ] dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2] + dp[n-3] dp[n]=dp[n1]+dp[n2]+dp[n3];

这个方程表示到达第 ( n ) 阶台阶的方法数是到达第 ( n-1 ) 阶、( n-2 ) 阶和 ( n-3 ) 阶台阶的方法数之和。这里没有重复计算任何情况,每个情况都被独立考虑了一次。

总结

之前的思考过程尝试将问题分解为多个部分,这是一个很好的方法,但是在合并这些部分时,需要确保没有重复计算任何情况。正确的方法是使用动态规划,确保每一步都是基于前几步的结果,并且没有重复或遗漏。

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