射影几何学的复兴（三+）

下面以热尔岗对偶化笛沙格的三角形定理为例说明热尔岗的对偶原理。首先介绍下三角形的对偶：三角形由不在同一直线上的三个点和联接它们的三条线组成，对偶的图形则由不在同一点上的三条线以及联接它们的三个交点组成，对偶图形也是三角形，所以称三角形是自对偶的。热尔岗发明了两栏的书写格式，把对偶命题写在原命题旁，接着他把笛沙格定理改写为：

笛沙格定理	笛沙格定理的对偶
如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点O，那么对应边相交的三个点共线	如果有两个三角形，联接对应边的点在同一条线O上，那么对应顶点相连的三条线过同一个点。

这里对偶定理是原定理的逆定理。
热尔岗对一般对偶原理的表述是有点含糊和缺陷的，虽然他深信它的普遍性，但无法证明，而彭赛列反对了其中的缺陷，并与热尔岗争夺该原理的优先权（彭赛列确实优先），谴责热尔岗剽窃，不过彭赛列要依靠配极，且不承认热尔岗推广了原理的应用范围。后来彭赛列、热尔岗、莫比乌斯、沙勒和普吕克展开讨论，弄明白了这一原理，莫比乌斯和普吕克都很好地说明了对偶原理与配极之间的关系：对偶概念与圆锥曲线、二次型无关，但后者能用时就与配极一致。这一时期还没有得到对一般对偶原理的逻辑证明。

Jacob Steiner(1796-1863)推进了综合射影几何的发展。他接受法国特别是彭赛列的观点，支持综合法，反对分析学，创立了德国几何学派。他出生于农民家庭，19岁以前在农场干活，大多是自学的，最后成为了柏林的教授。他年轻时在裴斯泰洛齐（近代著名教育家）的学校当老师，深感培养几何直观的重要性，裴斯泰洛齐的原则是在教师引导下，采用苏格拉底式的对话法，让学生创造数学。Steiner方法极端，他教几何不用图，在黑屋子里培养研究生（不明白是啥意思），后期Steiner为了维持多产的名声，把英国和其它期刊发表的定理和证明拿来发文章，他写东西也不声明这些是其他人的成果。他研究几何形状的相互依赖性，其主要原理是运用射影的概念从简单结构（如点、线、线束、面、面束）造出更复杂的结构，他在结果上没有特别的创新，但方法是新的。

下面以Steiner定义圆锥曲线的射影方法（现已成为标准方法）为例解释其原理。从两个线束（共点的线族）P1,P3出发，设它们通过线l上的点束透视相关，设线束P3与P2通过另一条线m上的点束透视相关，此时称线束P1与P2是射影相关的。以P1为中心的线束和以P2为中心的线束标a的线是两线束P1与P2间的射影对应下互相对应的线。

线束对应

现在定义圆锥曲线为两个射影相关的线束的所有各对应线的交点集合。如P是曲线上一点，且曲线过P1和P2。于是Steiner用较简单的形、线束创造了圆锥曲线或二次曲线。但他未证明他的曲线和圆锥截口是一回事。

圆锥曲线

他也用类似方法创造了直纹的二次曲面、单叶双曲面和双曲抛物面，用射影对应作为他定义的基础，但对整个射影几何来说，他的方法缺乏普遍性。
他在证明中采用交比作为基本工具，但他不用虚元素，称之为“几何的鬼影”，也不用带负号的量，虽然莫比乌斯已经引入了。Steiner一开始就用对偶原理，如他把圆锥曲线的定义对偶化，得到一种新结构称为线曲线。如果从两个射影相关（而非透视相关）的点束出发，那么联接这两个点束中对应点的线族称为一个线圆锥曲线。点的轨迹曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一个线曲线，如果点曲线是圆锥曲线，就构成对偶曲线。反过来，每个线圆锥曲线包络着一个点圆锥曲线，或说它是点圆锥曲线的切线集体。
用Steiner点圆锥曲线的对偶概念可把许多定理对偶化，比如帕斯卡定理的对偶命题。

帕斯卡定理	帕斯卡定理的对偶
在点圆锥曲线上取六个点A,B,C,D,E,F，则A,B的连线与D,E的连线交于一点P，B,C的连线与E,F的连线交于一点Q，C,D的连线与F,A的连线交于一点R，P,Q,R三点在一条线l上。	在线圆锥曲线上取六条线a,b,c,d,e,f，则a,b的交点与d,e的交点相连得线p，b,c的交点与e,f的交点相连得线q，c,d的交点与f,a的交点相连得线r，p,q,r三线过同一点L。

帕斯卡定理

帕斯卡定理的逆定理-布里昂雄定理

Steiner和热尔岗一样，也没有建立对偶原理的逻辑基础。不过他作了图形分类，重视对偶命题，系统地发展了射影几何学。他充分研究了二次曲线和二次曲面。

沙勒毕生从事几何学，他继续彭赛列和Steiner的工作（虽然他不知道Steiner干了啥，因为他看不懂德语），由于他很多工作无意中重复了Steiner的，或者被更普遍的概念更替，这里只介绍少数成果。
沙勒从欧几里得失传的《衍论》中努力弄懂交比的观念（虽然Steiner和莫比乌斯重新引入了，笛沙格也用过这个概念），但沙勒只知道La Hire和帕普斯用过。他得到的结果之一是：圆锥曲线上有四个固定点与这圆锥曲线上任意的第五点确定的四条线有相同的交比。
1828年沙勒给出定理：已知两个共线点集成一一对应，使一条线上任四点的交比等于另一条线上对应点的交比，那么联接对应点的那些线是一个圆锥曲线的切线，圆锥曲线与两条已知线也相切。该结果等价于Steiner的线圆锥曲线定义，这里的交比条件保证两个共线点集是射影相关的，连接对应点的线是Steiner的线圆锥曲线。
沙勒指出从对偶原理来看线和点一样基本，他相信彭赛列和热尔岗也赞成，沙勒把交比称为非调和比，引入“单应”术语描述平面到自身或到其它平面的、把点变成点、把线变成线的变换。这个术语包含了透射的或射影相关的图形，他加了个条件要求变换保持交比不变，称点变线、线变点的变换为对射。
虽然沙勒为纯粹几何学辩护，但他是解析地思考，然后几何地陈述证明和结果，这种方法称为混合法，后来别人也在用。

1850年左右，射影几何和欧几里得几何的逻辑关系还没有弄清，从笛沙格到沙勒都用了长度的概念（交比的概念就是用长度定义的），但长度不是射影概念，它在射影变换下发生改变。Karl Georg Christian Von Staudt(1798-1867)是埃尔朗根教授，他对逻辑基础感兴趣，决心使射影几何摆脱对长度和迭合的依赖，他提出在射影的基础上引入一种类似长度的东西“投的代数”，在直线上任选三个点，给它们指定符号0,1,∞，然后用莫比乌斯的几何作图法“投”给任意一点P配上一个符号。
从直线上标着0和1的点出发，过平行线上一点M作0M，然后作1N平行于0M，再画出1M，作N2平行于1M，显然01=12，因为平行四边形对边相等，这样就用几何作图把01的长度转到12了。

投

现在来看射影，从三个点0,1,∞出发，点∞在无穷远直线l∞上，但在射影几何中是普通的线，取一点M，过M作一条“平行”于01的线（这条线与01交于∞），现在有M∞，作0M并延长它与直线l∞交于P，然后过1作0M的“平行线”（即与0M交于l∞的P），得到1P线，从而确定N，再画出1M并延长它与直线l∞交于Q，过N而“平行”于1M的线是QN，QN再交01于2。

射影

用这种作图法能给01∞线上的点配上“有理数坐标”，如果要把无理数配给线上的点，必须引入连续性公理，von Staudt的工作还不够严密。他的点只是识别符号，不能使用算数法则，他用几何作图来定义这些符号的运算，使其能够作为普通的数处理。给点配上符号后，他定义四个点的交比，如果四点的坐标是x1,x2,x3,x4，那么交比定义为 ，这样他不依赖长度和迭合就建立了射影几何的基本工具。
交比为-1的四点称为调和集。von Staudt定义：如果两个点束在一一对应下调和集对应于调和集，那么两个点束是射影相关的；如果四条共点的线与任一斜截线的交点是一个调和点集，四条共点的线构成一个调和集。于是两个线束的射影对应也能定义了。von Staudt利用这些概念，定义了平面到自身的直射变换为点到点、线到线的一一变换，并证明它把调和集变为调和集。
他指出射影几何比欧几里得几何还基本，其概念是欧几的前提，显示了射影几何是与距离无关的学科，不过他还是用了欧几的平行公理，从逻辑上看是个缺陷，因为平行性不是射影不变的，Felix Klein消除了这个缺点。