算法练习题03：分解质因数

【问题描述】 求出区间[a,b]中所有整数的质因数分解,统计一共有多少种不同的分法

【输入格式】 输人两个整数a和b。

【输出格式】 输出一行,一个整数,代表区间内质因数分解方法之和。

【输入样例】 6 10

【输出样例】 10

【样例说明】 6的质因数为2和3,一共有两个。7的质因数有7,只有一个。8的质因数有2、2、2,一共 有三个。9的质因数有3、3,一共有两个。10的质因数有2和5,一共有两个。所以答案为2+1+3+2+2=10。

【数据规模与约定】2<=a<=b<=10000

我的答案：

#include
using namespace std;
bool isPrime(int n){
	int flag = 0;
	for(int i=n-1;i>1;i--){
		if(n%i==0){
			flag++;
		}
	}
	return (flag==0);
}
int main(){
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	int dp[10001];
	int sum=0;
	for(int i=2;i<=b;i++){
		if(isPrime(i)){
			dp[i]=1;
		}
		else{
			for(int j=2;j

改进点：

 1.优化 isPrime 函数：

现在的 isPrime 函数效率较低，因为它从 n-1 一直检查到 2。事实上，只需检查到 sqrt(n) 即可。这是因为如果 n 不是质数，它的最小因子一定小于或等于 sqrt(n)。这样可以显著减少不必要的计算。

2. 初始化 dp 数组：

建议在一开始将 dp 数组初始化为 0，以避免不确定的初始值导致的错误。

改进后：

#include
#include // 引入cmath库用于sqrt函数
using namespace std;

// 判断是否是质数的函数
bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) return false; // 如果 n 能被 i 整除，说明不是质数
    }
    return true; // 没有因子，说明是质数
}

int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int dp[10001] = {0}; // 初始化dp数组
    int sum = 0;

    for (int i = 2; i <= b; i++) {
        if (isPrime(i)) {
            dp[i] = 1; // 如果是质数，dp[i] 设为 1
        } else {
            for (int j = 2; j <= sqrt(i); j++) {
                if (i % j == 0) {
                    dp[i] = dp[j] + dp[i / j]; // 通过因子分解计算质因数的和
                    break; // 找到第一个因子后可以直接退出循环
                }
            }
        }
    }

    // 计算从a到b之间所有数的质因数总和
    for (int i = a; i <= b; i++) {
        sum += dp[i];
    }

    cout << sum; // 输出质因数的总和
    return 0;
}

老师给的答案：

#include 
#include 

using namespace std;

// 判断是否是质数的函数
bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return false; // 1 和更小的数都不是质数
    }
    for (int i = 2; i <= n / 2; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            return false; // 如果能被 i 整除，说明不是质数
        }
    }
    return true; // 如果没有因子，则是质数
}

int main() {
    vector v; // 存储2到b之间的所有质数
    int a, b;
    cout << "请输入两个整数 a 和 b，用空格分隔（a < b）：" << endl;
    cin >> a >> b;

    // 找出所有在 2 到 b 之间的质数并存储到向量 v 中
    for (int i = 2; i <= b; ++i) {
        if (isPrime(i)) {
            v.push_back(i); // 如果 i 是质数，则存储到向量 v 中
        }
    }

    int sum = 0; // 用于记录质因数的总数

    // 从 a 开始处理直到 b
    for (int i = a; i <= b; ++i) {
        if (isPrime(i)) {
            sum++; // 如果 i 是质数，则直接计数
        } else {
            // 不是质数时，分解质因数
            int temp = i; // 暂存 i 的值
            int index = 0; // 用于遍历质数数组的索引

            while (temp != 1) { // 当当前数字没有被除尽时
                if (temp % v[index] == 0) { // 如果能被当前质数整除
                    sum++; // 计数
                    temp /= v[index]; // 更新 temp 为除尽后的值
                    index = 0; // 还原索引，重新从第一个质数（2）开始尝试
                } else {
                    index++; // 尝试下一个质数
                }
            }
        }
    }

    cout << "质因数的总数为：" << sum << endl; // 输出质因数的总数
    return 0;
}