【图论】最短路算法

【图论】最短路算法

今天是图论的学习，就从最短路算法开始叭

1. Dijkstra

Dijkstra算法是典型的单源最短路算法，即求图中一个点到其他所有点的最短路径的算法，时间复杂度 $O(n^2)$

Dijkstra算法算是贪心思想实现的，图不能有负权边，其核心要点为：

每次从 「未求出最短路径的点」中 取出 「离起点距离最短」 路径的点，并以这个点为当前节点 刷新「未求出最短路径的点」的距离

以下图为例：

Dijkstra 算法将会寻找出图中 节点0 到所有其他节点的最短路径。

起点到每个点的距离：

节点	当前节点	0	1	2	3	4	5	6
step1	$-$	$0$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
step2	$0$	$0$	$2$	$6$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
step3	$1$	$0$	$2$	$6$	$7$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
step4	$2$	$0$	$2$	$6$	$7$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
step5	$3$	$0$	$2$	$6$	$7$	$17$	$22$	$\infty$
step6	$4$	$0$	$2$	$6$	$7$	$17$	$20$	$27$
step7	$5$	$0$	$2$	$6$	$7$	$17$	$20$	$26$
step8	$6$	$0$	$2$	$6$	$7$	$17$	$20$	$26$

代码

def dijkstra(s):
	# 标记数组：used[v]值为False说明改顶点还没有访问过，在S中，否则在U中！
	used = [False for _ in V]
	# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，先把所有节点的距离初始化为无穷
	distance = [float('inf') for _ in V]
    distance[s] = 0
    while True:
        # v在这里相当于是一个哨兵，对包含起点s做统一处理！
        v = -1
        # 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for u in V:
            if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
                v = u
        if v == -1:
            # 说明所有顶点都维护到S中了！
            break

        # 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
        used[v] = True
        # 更新U中各个顶点到起点s的距离。
        for u in V:
            distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])

2. Bellman-Ford

Bellman-Ford是单源最短路径问题的一种算法。它的原理是对图进行 $n-1$ 次松弛操作，得到所有可能的最短路径。

其优于Dijkstra算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高。

实现步骤：

• 初始化：源点到自己的距离为 0，其他点到源点的距离为正无穷。
• 第一次迭代：找到不超过1 条边的最短路
• 第二次迭代：找到不超过2 条边的最短路
• ……
• 第n次迭代：找到不超过$n-1$条边的最短路

代码：

def bellman_ford(graph, source):
    dist = {}
    p = {}
    max = 10000
    for v in graph:
        dist[v] = max  #赋值为负无穷完成初始化
        p[v] = None
    dist[source] = 0
 
    for i in range(len( graph ) - 1):
        for u in graph:
            for v in graph[u]:
                if dist[v] > graph[u][v] + dist[u]:
                    dist[v] = graph[u][v] + dist[u]
                    p[v] = u    #完成松弛操作，p为前驱节点
 
    for u in graph:
        for v in graph[u]:
            if dist[v] > dist[u] + graph[u][v]:
                return None, None  #判断是否存在环路
 
    return dist, p

int dist[N],backup[N];//dist距离，backup用来存上一次的结果。
struct edge//用来存边
{
    int a;
    int b;
    int w;
}Edge[M];

int Bellman_Ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;//初始化
    for(int i = 0 ; i < k ; i++)//遍历k次
    {
        memcpy(backup,dist,sizeof dist);//存上一次答案。
        for(int j = 0 ; j < m ; j++)
        {
            int a = Edge[j].a, b = Edge[j].b, w = Edge[j].w;
            dist[b] = min(dist[b],backup[a] + w);
        }//遍历所有边
    }
    if(dist[n] > 0x3f3f3f3f/2) return -1;
    /*这里不像Dijkstra写等于正无穷是因为可能有负权边甚至是负环的存在，
    使得“正无穷”在迭代过程中受到一点影响。*/
    return dist[n];
}

3. Floyd

Floyd 算法是典型的多源最短路算法， 求 所有点到所有点 的最短路径的算法

核心要点：

要点：以每个点为 「中转站」 ， 刷新所有 「入度」 和 「出度」 的距离。

遍历每一个顶点 --> 遍历点的每一个入度 --> 遍历每一个点的出度，以这个点为「中转站」距离更短就刷新距离

（比如 B 点为中转站 AB + BD < AD 就刷新 A 到 D 的距离）

代码

for k in range(n):
	for i in range(n):
		for j in range(n):
			graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j])

4. A*

A*算法是一种启发式搜索算法，利用合适的启发函数，全面评估各扩展搜索节点的代价值，通过比较扩展节点代价值的大小，选择价值最小的点加以扩展，直到找到目标节点为止。

和 Dijkstra 算法相比，A* 采用启发式的搜索策略，能够更快地搜索出最短路径

核心的模型评估函数是:

$$f(n)=g(n)+h(n)$$

• $f(n)$ —— 总代价函数
• $g(n)$ —— 一起点到结点n的真实距离函数
• $h(n)$ —— 结点n到终点的估计距离的启发函数

算法流程：

• 用优先队列定义一个 openList 表: 记录准备处理的点，根据f(n)升序排序
• 用字典来定义一个 closeList 表: 记录最短路径上的所有点的信息

启发函数的选择

• 为了要保证找到最优解，要使启发函数 $h(n)<=h^{\ast }(n)$   ($h^{\ast }(n)$为节点到终点的真实距离)

估计距离的对比

• 允许4邻域（即上下左右）的移动，使用曼哈顿距离
• 允许8邻域（上下左右，左上右上左下右下）的移动，使用对角线距离
• 允许任何方向的移动，使用欧几里得距离

代码

    def planning(self, sx, sy, gx, gy):
        # 设置起点，先获得起点所在的格子，然后起点的花费初始化为0，父节点初始化为-1
        start_node = self.Node(self.get_xy(sx, self.min_x), self.get_xy(sy, self.min_y), 0.0, -1)
        # 设置终点，先获得终点所在的格子，然后起点的花费初始化为0，父节点初始化为-1
        goal_node = self.Node(self.get_xy(gx,self.min_x), self.get_xy(gy, self.min_y), 0.0, -1)

        start_node.distance = self.get_distance(goal_node, start_node)  # 初始化起点的估计距离

        q = PriorityQueue() # 定义一个优先队列
        q.put(start_node)   # 起点入队

        closed_set = {}
        dis = {}    # 记录起点到每个点的距离
        n_id = self.get_node(start_node)
        dis[n_id] = 0

        while not q.empty():
            current = q.get()   # 获取队头元素加出队
            id = self.get_node(current)
            if id in closed_set: continue
            closed_set[id] = current  # 把这个点加入close_set中

            # 如果到达了终点
            if current.x == goal_node.x and current.y == goal_node.y:
                goal_node.parent_index = current.parent_index
                goal_node.cost = current.cost
                break

            for i,_ in enumerate(self.motion):
                node = self.Node(current.x + self.motion[i][0], current.y + self.motion[i][1], current.cost + self.motion[i][2], id)
                now_id = self.get_node(node)
                # 如果close_set中已经有它了, 不会重复添加和更新
                if now_id in closed_set: continue
                # 如果不满足合法条件
                if not self.verify_node(node):  continue
                node.distance = node.cost + self.get_distance(node,goal_node)

                if(now_id not in dis):
                    dis[now_id] = node.cost
                    q.put(node)
                elif(node.cost < dis[now_id]):
                    dis[now_id] = node.cost
                    q.put(node)

        # 获得路径
        rx, ry = self.get_path(goal_node, closed_set)

        return rx, ry

5. matlab求最短路

有向图最短路

% 图的邻接矩阵
E = [1,2,6;1,3,3;1,4,1;2,5,1;3,2,2;3,4,2;4,6,10;5,4,6;
    5,6,4;5,7,3;5,8,6;6,5,10;6,7,2;7,8,4;9,5,2;9,8,3];
% 边的一端，边的另一端，边的权值
G = digraph(E(:,1),E(:,2),E(:,3));
% 找出最短路和花费的费用
[path,d] =  shortestpath(G,1,8,'method','positive');   
% 画出图
p = plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight,'Layout','circle');
% 高亮出最短路径
highlight(p,path,'EdgeColor','red','LineWidth',1.5);

无向图最短路

a = zeros(11);
a(1,2)=2;a(1,3)=8;a(1,4)=1;
a(2,3)=6;a(2,5)=1;
a(3,4)=7;a(3,5)=5;a(3,6)=1;a(3,7)=2;
a(4,7)=9;a(5,6)=3;a(5,8)=2;a(5,9)=9;
a(6,7)=4;a(6,9)=6;a(7,9)=3;a(7,10)=1;
a(8,9)=7;a(8,11)=9;
a(9,10)=1;a(9,11)=2;a(10,11)=4;

s=cellstr(strcat('v',int2str([1:11]')));    % 顶点字符串
G=graph(a,s,'Upper');   % 利用邻接矩阵的上三角元素构造无向图
[p,d]=shortestpath(G,1,11); % 求最短路径和最短距离
h = plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight); % 画无向图
highlight(h,p,'EdgeColor','r','LineWidth',2);   % 最短路径加粗