仿射变换与仿射函数

一、仿射变换

     仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间，一种从${\mathbb{R}}^n到{\mathbb{R}}^m$ 的映射。如下：

一个对向量 平移 ，与旋转放大缩小 A的仿射映射为
$$y=AX+b$$

如上所示，仿射变换为两函数的复合：平移及线性映射。普通向量代数用矩阵乘法呈现线性映射，用向量加法表示平移。正式言之，于有限维度之例中，假如该线性映射被表示为一矩阵“A”，平移被表示为向量，一仿射映射$f$可被表示为

$$y=f(x)=AX+b$$

其中：

• $f(x)$是仿射变换。
• $X$是输入向量。
• $A$是一个$m\times n$ 的可逆矩阵，代表线性变换部分。
• $b$ 是一个 $m$ 维向量，代表平移部分。

    
特性：

• 线性变换：仿射变换包含一个线性变换部分，这意味着它保持了向量加法和标量乘法的操作。
• 平移：仿射变换还包括一个平移部分，它将整个空间中的每个点按照 $b$ 向量进行平移。
• 组合性：仿射变换可以看作是先进行线性变换，然后进行平移。
• 保距性：虽然仿射变换不一定保持距离和角度，但它保持了共线性（即平行性和成比例性）。

    
几何意义：

在几何上，仿射变换可以包括：

• 旋转（不改变向量间的相对方向）。
• 缩放（均匀地拉伸或压缩空间）。
• 反射（沿一个平面或轴线翻转空间）。
• 剪切（沿着一个方向的非均匀拉伸）。

二、仿射变换应用及示例

仿射变换在多个领域有广泛应用，包括：

• 计算机图形学：用于图像和模型的变换，如旋转、缩放和倾斜。
• 机器视觉：在图像识别和处理中，用于校正和变换图像。
• 机器人学：描述机器人部件的运动。
• 工程和建筑设计：在设计和建模中变换几何形状。

    
示例：
在二维空间中，一个仿射变换可以表示为：

$$f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$$
这里，矩阵$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 定义了线性变换，而向量 $\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$ 定义了平移。这个变换可以包括旋转、缩放、剪切和平移等操作。
    

三、仿射函数

    从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的映射 $x\mapsto Ax+b$，称为仿射变换（affine transform）或仿射映射（affine map），其中 (A) 是一个 $m\times n)$ 矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维向量。当 $m=1$ 时，称上述仿射变换为仿射函数。一般形式可以表示为：
$$f(x)=Ax+b$$

其中：

• $x$ 是一个 $k$ 维的向量，代表函数的输入。
• $A$ 是一个 $m\times k$ 的矩阵，代表线性变换部分，它定义了输入向量 $x$ 如何通过线性组合映射到更高或更低维度的空间。
• $b$是一个 $m$ 维的向量，代表仿射变换中的偏置项，它决定了函数的输出在${\mathbb{R}}^m$ 空间中的位置。

    
特性

1. 线性组合：仿射函数的输出是输入向量的加权线性组合，权重由矩阵$A$ 确定。
2. 偏置：向量$b$ 为函数的输出添加了一个常数偏置。
3. 一阶多项式：仿射函数是一阶多项式，因为它只包含输入变量的一次项。
4. 空间映射：仿射函数反映了从 $k$ 维空间到 $m$ 维空间的线性映射关系，其中 $m$ 可以大于、等于或小于 $k$ 。

    
几何意义
在几何上，仿射函数可以被视为在 $k$ 维空间中的一个线性变换（旋转、缩放等），随后在 ${\mathbb{R}}^m$ 空间中进行平移。
    

四、仿射函数应用及示例

仿射函数在多个领域有应用，包括：

• 经济学：在消费者需求函数或生产函数中建模。
• 工程学：在控制系统中描述线性动态系统的行为。
• 物理学：在经典力学中描述物体的运动。
• 计算机科学：在机器学习和数据拟合中，仿射函数用于构建线性模型。

    
示例

1. 在最简单的一维情况下$(k=m=1)$，仿射函数简化为：
   $$f(x)=ax+b$$
   这里$a$是标量，表示斜率，而$b$是$y$轴上的截距。

2. 在多维情况下，例如在二维空间到三维空间的映射，仿射函数可以表示为：

f ( X ) = A [ x 1 x 2 ] + [ b 1 b 2 b 3 ] f(X)=A \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right] f(X)=A[x1​x2​​]+ ​b1​b2​b3​​ ​

其中，$A$是一个 $3\times 2$ 的矩阵，$X$ 是一个 $2$ 维向量，$B$ 是一个 $3$ 维向量。
    

五、二者区别与联系

    仿射变换和仿射函数是数学概念，主要应用于线性代数和几何等领域。它们的基础在于将一种空间的形状变换到另一种空间，同时保持某种结构或性质不变。
    
区别：

1. 仿射变换依赖于线性变换和向量加法，是一种保持直线之间“直”以及“平行”性质的变换。它包括旋转、缩放、平移和错切等变换。仿射变换在计算机图形学，特别是在处理2D和3D几何形状方面，有着广泛的应用。例如，在图形编辑程序中，你可以旋转、缩放、反转或移动图形对象，而这些都可以通过仿射变换来实现。
2. 仿射函数是一种特殊形式的函数，可以表示为一个线性函数加上一个常数向量。在一维空间中，仿射函数的形式如 f(x) = ax + b，其中a是斜率，b是截距。在多维空间中，仿射函数通常表示为 f(x) = Ax + b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。仿射函数在许多领域都有应用，包括统计学、机器学习、信号处理等等。

联系：
    仿射变换和仿射函数的主要联系在于，仿射变换实际上就是通过仿射函数实现的。换句话说，仿射函数就是用于描述仿射变换的数学公式。当你在二维或三维空间中平移、旋转或缩放对象时，你实际上就是在应用一个仿射函数来改变每个点的坐标。