高数知识补充----矩阵、行列式、数学符号

矩阵计算

参考链接：矩阵如何运算？——线性代数_矩阵计算-CSDN博客

矩阵计算：【前找行，后找列，相乘相加】。

行列式计算

参考链接：实用的行列式计算方法 —— 线性代数（det）_det线性代数-CSDN博客

参考链接：行列式的计算方法(含四种，看完就会！)-CSDN博客

一、对角线法

▍以三阶行列式为例：

①将第一、二列平移到行列式右侧
②如图做出六条斜对角线
③对角线上的元素相乘，红色相加的和 减去 蓝色相加的和

D3​=

对角线法也是三阶行列式计算使用最广泛的方法

▍ 对角线法适用于二、三阶行列式，对于更高阶的行列式暂时未找到规律

二、代数余子式法

三、等价转化法

四、逆序数法

四种行列式的计算方法：

▍其中对角线法，是使用最简单、最广泛的方法

▍代数余子式法和等价转化法，在特定情况下能极大程度上简便运算，但需要读者对行列式进行灵活地观察

▍逆序数法，是一种更加基础的方法，使用起来比较复杂

导数，偏导数，方向导数，梯度的理解---微积分数学基础

参考链接：导数，偏导数，方向导数，梯度的理解---微积分数学基础_u对法向量求偏导是什么-CSDN博客

导数：(对于一元函数)区域内的变化率，例如：速度。

偏导数：(对于多元函数)垂直与各坐标轴的特殊切线的斜率（N元函数有N个偏导数）。

例如：(以二元函数为例)，x轴/y轴方向上的导数即为偏导数。

方向导数：包括偏导数在内的，任意方向的带方向导数。

方向导数的最大值：方向导数方向与偏导向量同向时，取得最大值(梯度的模)。

                                                                        反向时，取得负最大值。

（梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数）

某位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。

当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数。

换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。

梯度：

几何意义：

1. 梯度方向：当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；
2. 梯度长度(模)：当前位置的梯度长度（模），为最大方向导数的值。

小结：

• 偏导数构成的向量为梯度；
• 方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；
• 梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数；
• 微分的结果为梯度与微分向量的内积
• 等高线全微分的结果为0，所以其梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线
• 隐函数的梯度为高维曲面（曲线）的法向量

梯度参考链接：直观理解偏导数、方向导数和法向量和梯度_方向导数的几何意义图解-CSDN博客

数学符号及读法大全 & 数学运算符号及含义

参考链接：【高数】数学符号及读法大全and数学运算符号及含义_高数符号大全及意义-CSDN博客

数学符号及读法大全，并解释了运算符号含义。

大写	小写	英文注音	国际音标	中文注音
Α	α	alpha	alfa	阿耳法
Β	β	beta	beta	贝塔
Γ	γ	gamma	gamma	伽马
Δ	δ	deta	delta	德耳塔
Ε	ε	epsilon	epsilon	艾普西隆
Ζ	ζ	zeta	zeta	截塔
Η	η	eta	eta	艾塔
Θ	θ	theta	θita	西塔
Ι	ι	iota	iota	约塔
Κ	κ	kappa	kappa	卡帕
∧	λ	lambda	lambda	兰姆达
Μ	μ	mu	miu	缪
Ν	ν	nu	niu	纽
Ξ	ξ	xi	ksi	可塞
Ο	ο	omicron	omikron	奥密可戎
∏	π	pi	pai	派
Ρ	ρ	rho	rou	柔
∑	σ	sigma	sigma	西格马
Τ	τ	tau	tau	套
Υ	υ	upsilon	jupsilon	衣普西隆
Φ	φ	phi	fai	斐
Χ	χ	chi	khai	喜
Ψ	ψ	psi	psai	普西
Ω	ω	omega	omiga	欧米噶

符号	含义
i	-1的平方根
f(x)	函数f在自变量x处的值
sin(x)	在自变量x处的正弦函数值
exp(x)	在自变量x处的指数函数值，常被写作ex
a^x	a的x次方；有理数x由反函数定义
ln x	exp x 的反函数
ax	同 a^x
logba	以b为底a的对数；blogba = a
cos x	在自变量x处余弦函数的值
tan x	其值等于 sin x/cos x
cot x	余切函数的值或 cos x/sin x
sec x	正割含数的值，其值等于 1/cos x
csc x	余割函数的值，其值等于 1/sin x
asin x	y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y
acos x	y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y
atan x	y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y
acot x	y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y
asec x	y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y
acsc x	y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y
θ	角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时
i, j, k	分别表示x、y、z方向上的单位向量
(a, b, c)	以a、b、c为元素的向量
(a, b)	以a、b为元素的向量
(a, b)	a、b向量的点积
a•b	a、b向量的点积
(a•b)	a、b向量的点积
|v|	向量v的模
|x|	数x的绝对值
Σ	表示求和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。如j从1到100 的和可以表示成：。这表示 1 + 2 + … + n
M	表示一个矩阵或数列或其它
|v>	列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量
	被写成行或可被看成从1×k阶矩阵的向量
dx	变量x的一个无穷小变化，dy, dz, dr等类似
ds	长度的微小变化
ρ	变量 (x2 + y2 + z2)1/2 或球面坐标系中到原点的距离
r	变量 (x2 + y2)1/2 或三维空间或极坐标中到z轴的距离
|M|	矩阵M的行列式，其值是矩阵的行和列决定的平行区域的面积或体积
||M||	矩阵M的行列式的值，为一个面积、体积或超体积
det M	M的行列式
M-1	矩阵M的逆矩阵
v×w	向量v和w的向量积或叉积
θvw	向量v和w之间的夹角
A•B×C	标量三重积，以A、B、C为列的矩阵的行列式
uw	在向量w方向上的单位向量，即 w/|w|
df	函数f的微小变化，足够小以至适合于所有相关函数的线性近似
df/dx	f关于x的导数，同时也是f的线性近似斜率
f '	函数f关于相应自变量的导数，自变量通常为x
∂f/∂x	y、z固定时f关于x的偏导数。通常f关于某变量q的偏导数为当其它几个变量固定时df 与dq的比值。任何可能导致变量混淆的地方都应明确地表述
(∂f/∂x)|r,z	保持r和z不变时，f关于x的偏导数
grad f	元素分别为f关于x、y、z偏导数 [(∂f/∂x), (∂f/∂y), (∂f/∂z)] 或 (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k; 的向量场，称为f的梯度
∇	向量算子(∂/∂x)i + (∂/∂x)j + (∂/∂x)k, 读作 "del"
∇f	f的梯度；它和 uw 的点积为f在w方向上的方向导数
∇•w	向量场w的散度，为向量算子∇ 同向量 w的点积, 或 (∂wx /∂x) + (∂wy /∂y) + (∂wz /∂z)
curl w	向量算子 ∇ 同向量 w 的叉积
∇×w	w的旋度，其元素为[(∂fz /∂y) - (∂fy /∂z), (∂fx /∂z) - (∂fz /∂x), (∂fy /∂x) - (∂fx /∂y)]
∇•∇	拉普拉斯微分算子：(∂2/∂x2) + (∂/∂y2) + (∂/∂z2)
f "(x)	f关于x的二阶导数，f '(x)的导数
d2f/dx2	f关于x的二阶导数
f(2)(x)	同样也是f关于x的二阶导数
f(k)(x)	f关于x的第k阶导数，f(k-1) (x)的导数
T	曲线切线方向上的单位向量，如果曲线可以描述成 r(t), 则T = (dr/dt)/|dr/dt|
ds	沿曲线方向距离的导数
κ	曲线的曲率，单位切线向量相对曲线距离的导数的值：|dT/ds|
N	dT/ds投影方向单位向量，垂直于T
B	平面T和N的单位法向量，即曲率的平面
τ	曲线的扭率：|dB/ds|
g	重力常数
F	力学中力的标准符号
k	弹簧的弹簧常数
pi	第i个物体的动量
H	物理系统的哈密尔敦函数，即位置和动量表示的能量
{Q, H}	Q, H的泊松括号
	以一个关于x的函数的形式表达的f(x)的积分
	函数f 从a到b的定积分。当f是正的且 a < b 时表示由x轴和直线y = a, y = b 及在这些直线之间的函数曲线所围起来图形的面积
L(d)	相等子区间大小为d，每个子区间左端点的值为 f的黎曼和
R(d)	相等子区间大小为d，每个子区间右端点的值为 f的黎曼和
M(d)	相等子区间大小为d，每个子区间上的最大值为 f的黎曼和
m(d)	相等子区间大小为d，每个子区间上的最小值为 f的黎曼和

公式输入符号  ：

+:           plus(positive正的)
-：         minus（negative负的）
*：         multiplied by
÷：        divided by
=:          be equal to
≈:          be approximately equal to
():          round brackets(parenthess)
[]:          square brackets
{}:          braces
∵:          because
∴:          therefore
≤:          less than or equal to
≥：          greater than or equal to
∞：          infinity
LOGnX:    logx to the base n
xn:          the nth power of x
f(x):          the function of x
dx:          diffrencial of x
x+y:        x plus y
(a+b):      bracket a plus b bracket closed
a=b:        a equals b
a≠b：      a isn't equal to b
a>b :       a is greater than b
a>>b:      a is much greater than b
a≥b:         a is greater than or equal to b
x→∞：    approches infinity
x2:          x  square
x3:          x cube
√￣x:      the square root of x
3√￣x:    the cube root of x
3‰：    three peimill
n∑i=1xi:  the summation of x where x goes from 1to n
n∏i=1xi:  the product of x sub i where igoes from 1to n
∫ab:         integral betweens a and b

数学符号（理科符号）——运算符号 ： 

1.基本符号：＋ － × ÷（／）  
2.分数号：／  
3.正负号：±  
4.相似全等：∽ ≌  
5.因为所以：∵ ∴  
6.判断类：＝ ≠ ＜ ≮（不小于） ＞ ≯（不大于）  
7.集合类：∈（属于） ∪（并集） ∩（交集）  
8.求和符号：∑  
9.n次方符号：¹（一次方） ²（平方） ³（立方） ⁴（4次方） ⁿ（n次方）  
10.下角标:₁ ₂ ₃ ₄  
(如:A₁B₂C₃D₄ 效果如何?)  
11.或与非的"非":￢  
12.导数符号(备注符号):′ 〃  
13.度:° ℃  
14.任意:∀  ；“存在”：∃
15.推出号:⇒  
16.等价号:⇔  
17.包含被包含:⊆ ⊇ ⊂ ⊃  
18.积分:∫ ∬  
19.箭头类:↗ ↙ ↖ ↘ ↑ ↓ ↔ ↕ ↑ ↓ → ←  
20.绝对值:｜  
21.弧:⌒  
22.圆:⊙ 

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