POJ1811- Prime Test(Miller–Rabin+Pollard's rho)

题目大意

给你一个非常大的整数，判断它是不是素数，如果不是则输出它的最小的因子

题解

看了一整天《初等数论及其应用》相关部分，终于把Miller–Rabin和Pollard's rho这两个算法看懂了O(∩_∩)O~~

Miller–Rabin主要用到了费马小定理，即：设p是一个素数，a是一个正整数且p不整除a,则a^p-1≡1（mod p）.若x=b^(n-1)/2,x²=b^n-1≡1(mod n),如果n是一个素数，则x≡1(mod n)或者x≡-1(mod n).因此，一旦我们有b^n-1≡1（mod n），则可以检验b^(n-1)/2≡±1(mod n)是否成立.若该同余式不成立，则可知n合数.因此我们可以令n-1=2^tu,(t>=1且 u是奇数)，b^n-1≡(b^u)^2^t（mod n),通过先计算b^u，然后对结果连续平方t次来计算b^n-1(mod n),如果通过这种这种测试，则称n通过了以b为基数的米勒检验，我们可以多选取几个b，如果都通过了检测，则n有很大的机率是素数~~~

 

Pollard's rho 主要是基于Floyd's cycle-finding algorithm，算导上图非常形象~~讲得也挺好~~~我就不造轮子了。。。。我选取的函数式f(x)=x^2+1,每次都跑了1000多ms%>_<%。。。

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

typedef unsigned long long LL;

LL min(LL a,LL b)

{

    return a<b?a:b;

}

LL gcd(LL a,LL b)

{

    return b==0?a:gcd(b,a%b);

}

LL mult_mod(LL a,LL b,LL mod)

{

    LL ans=0;

    while(b)

    {

        if(b&1)

            ans=(ans+a)%mod;

        a=(a<<1)%mod;

        b>>=1;

    }

    return ans;

}

LL pow_mod(LL a,LL b,LL mod)

{

    LL d=1;

    a%=mod;

    while(b)

    {

        if(b&1)

            d=mult_mod(d,a,mod);

        a=mult_mod(a,a,mod);

        b>>=1;

    }

    return d%mod;

}

bool witness(LL a,LL n)

{

    LL u=n-1,t=0;

    while((u&1)==0)

    {

        u>>=1;

        t++;

    }

    LL x,x0=pow_mod(a,u,n);

    for(LL i=1; i<=t; i++)

    {

        x=mult_mod(x0,x0,n);

        if(x==1&&x0!=1&&x0!=(n-1))

            return true;

        x0=x;

    }

    if(x!=1)

        return true;

    return false;

}

bool miller_rabin(LL n)

{

    if(n==2) return true;

    if(n<2||!(n&1)) return false;

    for(int j=1; j<=8; j++)

    {

        LL a=rand()%(n-1)+1;

        if(witness(a,n))

            return false;

    }

    return true;

}

LL pollard_rho(LL n)

{

    LL i=1,x=2,y=2,k=2,d;

    while(true)

    {

        i++;

        x=(mult_mod(x,x,n)+1)%n;

        d=gcd(y-x,n);

        if(d!=1&&d!=n)

            return d;

        if(x==y) return n;

        if(i==k)

        {

            y=x;

            k<<=1;

        }

    }

}

LL find_minfac(LL n)

{

    if(miller_rabin(n)||n<=1)

        return n;

    LL p=pollard_rho(n);

    LL q=min(find_minfac(p),find_minfac(n/p));

    return q;

}

int main()

{

    int T;

    LL n;

    scanf("%d",&T);

    srand(time(NULL));

    while(T--)

    {

        scanf("%I64u",&n);

        if(n>2&&n%2==0) printf("2\n");

        else if(n==2||miller_rabin(n))

            printf("Prime\n");

        else

            printf("%I64u\n",find_minfac(n));

    }

    return 0;

}