【常用公式】三维空间直角坐标与极坐标转换公式

坐标符号

直角坐标：$$(x,y,z)$$极坐标：$$(r,\theta ,\varphi )$$

注：$r$ 表示极径的长度；$\theta$ 表示直角坐标系中向量 $(x,y,z)$ 与 $Z$ 轴正向的夹角；$\varphi$ 表示向量 $(x,y,z)$ 在 $XY$ 平面上的投影向量与 $X$ 轴正向的夹角。

直角坐标转极坐标

$$\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta =arctan(y/x)\\ \varphi =arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2})\end{array}$$

注：若需要的 $\theta$ 值在区间 $[0,\pi ]$，可按以下方式对 $\theta$ 进行取值：
$$\theta =\{\begin{array}{rlr}\pi +arctan(y/x)& & x<0\\ arctan(y/x)& & x\ge 0\end{array}$$

极坐标转直角坐标

$$\{\begin{array}{l}x=r\ast sin(\varphi )\ast cos(\theta )\\ y=r\ast sin(\varphi )\ast sin(\theta )\\ y=r\ast cos(\varphi )\end{array}$$

MATLAB程序代码

%直角坐标转极坐标
function P = Cart2Polar(p)
    P(1) = norm(p);
    P(2) = atan(p(2) / p(1));
    P(3) = acos(p(3) / norm(p));
    if p(1) < 0
        P(2) = P(2) + pi;
    end
end

%极坐标转直角坐标
function P = Polar2Cart(p)
    P = zeros(1, 3);
    P(1) = sin(p(3)) * cos(p(2));
    P(2) = sin(p(3)) * sin(p(2));
    P(3) = cos(p(3));
    P = P .* p(1);
end