Python实现 ElGamal 加密算法

目录

      • 使用 Python 实现 ElGamal 加密算法的博客
        • 引言
        • ElGamal 加密算法的工作原理
        • Python 面向对象实现 ElGamal 算法
        • 代码解析
        • 示例场景:安全消息传输
        • 代码解析
        • Python 代码的扩展和优化
        • 总结

使用 Python 实现 ElGamal 加密算法的博客

引言

ElGamal 加密算法 是一种基于离散对数难题的非对称加密算法,由塔希尔·艾尔加迈尔(Taher ElGamal)在1985年提出。它与 RSA 类似,是一种常用于安全通信的公钥加密系统。ElGamal 算法广泛应用于数字签名、加密系统和零知识证明等领域。本文将详细介绍 ElGamal 算法的原理,并使用 Python 以面向对象的方式实现 ElGamal 加密与解密操作,最后结合一个场景演示其应用。


ElGamal 加密算法的工作原理

ElGamal 加密系统基于离散对数问题的困难性,其安全性依赖于难以计算大整数的离散对数。算法主要由三个部分组成:密钥生成、加密和解密。

  1. 密钥生成

    • 选择一个大的素数 p p p 和一个整数 g g g,其中 g g g 是模 p p p 的一个生成元。
    • 随机选择一个私钥 x x x,满足 1 < x < p − 1 1 < x < p-1 1<x<p1
    • 计算公钥 y = g x m o d    p y = g^x \mod p y=gxmodp
    • 公钥为 ( p , g , y ) (p, g, y) (p,g,y),私钥为 x x x
  2. 加密过程

    • 选择要加密的明文消息 m m m,满足 m < p m < p m<p
    • 随机选择一个临时密钥 k k k,满足 1 < k < p − 1 1 < k < p-1 1<k<p1
    • 计算加密对 ( c 1 , c 2 ) (c_1, c_2) (c1,c2),其中:
      c 1 = g k m o d    p c_1 = g^k \mod p c1=gkmodp
      c 2 = m ⋅ y k m o d    p c_2 = m \cdot y^k \mod p c2=mykmodp
    • 加密后的密文为 ( c 1 , c 2 ) (c_1, c_2) (c1,c2)
  3. 解密过程

    • 使用私钥 x x x 解密密文 ( c 1 , c 2 ) (c_1, c_2) (c1,c2),计算:
      m = c 2 ⋅ ( c 1 x ) − 1 m o d    p m = c_2 \cdot (c_1^x)^{-1} \mod p m=c2(c1x)1modp
    • 其中 ( c 1 x ) − 1 (c_1^x)^{-1} (c1x)1 c 1 x c_1^x c1x 的模 p p p 的逆元,可以使用扩展欧几里得算法计算。
Python 面向对象实现 ElGamal 算法

为了实现 ElGamal 算法,我们将定义一个名为 ElGamal 的类,其中包含密钥生成、加密和解密的方法。

import random

class ElGamal:
    def __init__(self, p, g):
        """
        初始化 ElGamal 实例,指定素数 p 和生成元 g。
        """
        self.p = p  # 大素数 p
        self.g = g  # 生成元 g
        self.private_key = None  # 私钥
        self.public_key = None  # 公钥 (p, g, y)

    def generate_keys(self):
        """
        生成公钥和私钥。
        """
        # 选择一个随机私钥 x
        self.private_key = random.randint(2, self.p - 2)
        # 计算公钥 y
        y = pow(self.g, self.private_key, self.p)
        self.public_key = (self.p, self.g, y)
        return self.public_key

    def encrypt(self, plaintext, k=None):
        """
        使用公钥加密消息。
        :param plaintext: 明文消息 (整数形式)
        :param k: 临时密钥 (可选),默认为随机选择
        :return: 密文对 (c1, c2)
        """
        if not (1 <= plaintext < self.p):
            raise ValueError(f"明文消息必须在范围 1 到 {self.p-1} 之间。")
        
        if k is None:
            k = random.randint(2, self.p - 2)
        
        # 计算 c1 = g^k mod p
        c1 = pow(self.g, k, self.p)
        # 计算 c2 = m * y^k mod p
        y = self.public_key[2]
        c2 = (plaintext * pow(y, k, self.p)) % self.p

        return (c1, c2)

    def decrypt(self, ciphertext):
        """
        使用私钥解密密文。
        :param ciphertext: 密文对 (c1, c2)
        :return: 解密后的明文消息
        """
        c1, c2 = ciphertext
        # 计算 s = c1^x mod p
        s = pow(c1, self.private_key, self.p)
        # 计算 s 的逆元
        s_inv = pow(s, -1, self.p)
        # 计算明文 m = c2 * s^(-1) mod p
        plaintext = (c2 * s_inv) % self.p
        return plaintext
代码解析
  1. 类初始化 __init__ 方法:接收一个素数 p p p 和一个生成元 g g g 作为输入,初始化 ElGamal 加密系统。

  2. 密钥生成 generate_keys 方法:随机生成一个私钥 x x x,计算公钥 y = g x m o d    p y = g^x \mod p y=gxmodp,返回公钥 ( p , g , y ) (p, g, y) (p,g,y)

  3. 加密 encrypt 方法:使用公钥和随机的临时密钥 k k k 对明文进行加密,生成密文对 ( c 1 , c 2 ) (c_1, c_2) (c1,c2)

  4. 解密 decrypt 方法:使用私钥对密文进行解密,计算明文消息。

示例场景:安全消息传输

假设我们在一个安全消息传输系统中使用 ElGamal 加密算法。Alice 需要将一条秘密消息发送给 Bob。双方同意使用 ElGamal 加密算法。Bob 生成公钥和私钥,并将公钥发送给 Alice。Alice 使用 Bob 的公钥对消息进行加密,并将密文发送给 Bob。Bob 接收到密文后使用自己的私钥进行解密,恢复原始消息。

# 示例:Alice 和 Bob 的安全消息传输

# 1. Bob 生成公钥和私钥
p = 467  # 大素数 p
g = 2    # 生成元 g

bob = ElGamal(p, g)
public_key = bob.generate_keys()
print(f"Bob 的公钥: {public_key}")

# 2. Alice 使用 Bob 的公钥加密消息
alice = ElGamal(p, g)
plaintext = 123  # 明文消息 (整数形式)
ciphertext = alice.encrypt(plaintext)
print(f"Alice 加密的消息 (密文): {ciphertext}")

# 3. Bob 使用私钥解密密文
decrypted_message = bob.decrypt(ciphertext)
print(f"Bob 解密的消息: {decrypted_message}")

assert plaintext == decrypted_message, "解密后的消息与原始消息不一致!"
代码解析
  1. Bob 生成密钥对:Bob 选择一个大素数 ( p = 467 ) 和生成元 ( g = 2 ),生成公钥和私钥。

  2. Alice 加密消息:Alice 使用 Bob 的公钥对明文消息进行加密,并生成密文对。

  3. Bob 解密密文:Bob 使用私钥解密密文,恢复原始明文消息。

Python 代码的扩展和优化

为了提高 ElGamal 算法的实用性,我们可以进一步扩展代码:

  1. 支持字符串加密:当前实现只支持整数形式的消息,我们可以扩展支持字符串消息加密和解密。

  2. 优化密钥生成:优化生成大素数和生成元的算法,使用更加安全的密钥生成机制。

  3. 加入异常处理:完善代码中的异常处理机制,保证加密解密过程的鲁棒性。

以下是支持字符串加密的扩展代码示例:

class ElGamalExtended(ElGamal):
    def string_to_int(self, message):
        """
        将字符串消息转换为整数。
        """
        return int.from_bytes(message.encode('utf-8'), 'big')

    def int_to_string(self, number):
        """
        将整数转换为字符串消息。
        """
        return number.to_bytes((number.bit_length() + 7) // 8, 'big').decode('utf-8')

    def encrypt_message(self, message, k=None):
        """
        加密字符串消息。
        """
        plaintext = self.string_to_int(message)
        return self.encrypt(plaintext, k)

    def decrypt_message(self, ciphertext):
        """
        解密密文为字符串消息。
        """
        decrypted_number = self.decrypt(ciphertext)
        return self.int_to_string(decrypted_number)

# 使用扩展类进行字符串加密解密
if __name__ == "__main__":
    p =

 467
    g = 2
    bob = ElGamalExtended(p, g)
    public_key = bob.generate_keys()

    message = "Hello, Bob!"
    ciphertext = bob.encrypt_message(message)
    print(f"加密后的密文: {ciphertext}")

    decrypted_message = bob.decrypt_message(ciphertext)
    print(f"解密后的消息: {decrypted_message}")

    assert message == decrypted_message, "解密后的消息与原始消息不一致!"
总结

在本文中,我们详细介绍了 ElGamal 加密算法的原理,并使用 Python 以面向对象的方式实现了其加密与解密过程。同时,我们通过一个简单的场景示例,演示了 ElGamal 算法在安全通信中的实际应用。ElGamal 算法凭借其基于离散对数难题的安全性,成为现代密码学领域中的重要工具之一。通过对该算法的学习和实现,可以更深入理解公钥加密的核心思想和应用。

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