实变函数精解【18】

有限测度

首先，我们来明确“测度”的概念。在数学中，测度是一个将集合映射到非负实数（通常是实数的扩展，包括正无穷）的函数，它满足某些特定的性质，比如非负性、可加性等。有了这个基础，我们可以进一步探讨有限测度和概率测度的具体定义和它们之间的关系。

有限测度

• 定义：设$X$是一个集合，$\mu$是$X$上的一个测度。如果对于$X$中的任意集合$A$，都有$\mu (A)<\infty$（即测度的值是有限的），则称$\mu$为$X$上的有限测度。
• 特性：有限测度具有测度的所有基本性质，但其值被限制在有限范围内。

概率测度

• 定义：概率测度是定义在样本空间（或称为概率空间）上的特殊测度。具体来说，设$(\Omega ,\mathcal{F})$是一个可测空间，其中$\Omega$是样本点集合，$\mathcal{F}$是$\Omega$的子集构成的$\sigma$-代数。一个概率测度$P$是满足以下条件的测度：
  • $P(\Omega )=1$（即整个样本空间的测度为1，代表概率为1或必然事件）；
  • 对于任意$A\in \mathcal{F}$，有$P(A)\ge 0$（即任何事件的概率都是非负的）。
• 特性：概率测度除了具有测度的基本性质外，还特别强调了整个样本空间的测度为1，这体现了概率的“归一化”特点。

有限测度与概率测度的关系

• 概率测度是一种特殊的有限测度：由于概率测度的定义要求了任何事件的概率都是非负的，且整个样本空间的概率为1，因此概率测度的取值范围被限制在$[0,1]$之间，自然也就是有限的。所以，概率测度可以看作是有限测度在概率论中的具体应用。
• 并非所有有限测度都是概率测度：有限测度的取值可以是任意非负实数（只要不超过某个有限上界），而概率测度的取值则必须满足归一化条件。因此，有限测度的范围更广，概率测度只是其中的一部分。

$\sigma$-有限测度

首先，我们需要明确“$\sigma$有限测度”的概念。在数学中，特别是在测度论中，一个测度空间上的测度如果满足某些特定的性质，就可以被称为$\sigma$有限测度。

定义：

设$(X,\mathcal{A},\mu )$是一个测度空间，其中$X$是集合，$\mathcal{A}$是$X$上的$\sigma$-代数（即由$X$的子集构成的集合，且满足某些特定性质，如可数并、交、补等运算的封闭性），$\mu$是从$\mathcal{A}$到非负实数（包括正无穷）的映射，满足测度的定义（非负性、可加性等）。

如果$X$可以表示为可数个测度有限的集合的并集，即存在$\{A_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subseteq \mathcal{A}$，使得$X={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$，且对于每个$n$，都有$\mu (A_n)<\infty$，则称$\mu$是$X$上的$\sigma$有限测度。

解释：

1. 可数性：这里的“$\sigma$”表示可数（countable），因此$\sigma$有限测度意味着我们可以将整个空间$X$分解为可数个测度有限的子空间。
2. 有限性：每个$A_n$的测度都是有限的，即$\mu (A_n)<\infty$。但这并不意味着整个空间$X$的测度$\mu (X)$也一定是有限的。实际上，在某些情况下，$\mu (X)$可能是正无穷。
3. 应用：$\sigma$有限测度在积分理论、概率论和实分析等领域都有广泛的应用。例如，在概率论中，许多重要的概率空间（如勒贝格测度空间上的概率测度）都是$\sigma$有限的。

例子：

考虑实数集$\mathbb{R}$上的勒贝格测度$\lambda$。虽然整个实数集的测度$\lambda (\mathbb{R})$是正无穷，但我们可以将$\mathbb{R}$分解为可数个有限区间的并集，如$[-n,n]$（其中$n$是正整数）。每个区间$[-n,n]$的测度都是有限的（即$2n$），因此勒贝格测度$\lambda$是$\sigma$有限的。

综上所述，$\sigma$有限测度是一种重要的测度类型，它允许我们将整个空间分解为可数个测度有限的子空间，从而在某些情况下简化问题和分析过程。

计数测度

是测度论中的一个基本概念，它是一种特殊的测度，用于计算集合中元素的数量。以下是对计数测度的详细解释：

定义：

设$X$是一个集合，对于$X$的任意子集$A$，定义计数测度$\mu$为：

$\mu (A)=\{\begin{array}{ll}|A|,& \text{如果 }A\text{ 是有限集}\\ \infty ,& \text{如果 }A\text{ 是无限集}\end{array}$

其中，$|A|$表示集合$A$中元素的数量（即集合的基数）。

性质：

1. 非负性：对于任意集合$A\subseteq X$，都有$\mu (A)\ge 0$（因为集合中元素的数量总是非负的，或者为无穷大）。

2. 可加性（有限可加性）：如果$\{A_n{\}}_{n=1}^N$是$X$中有限个两两不交的集合，那么

$\mu \left({\bigcup }_{n=1}^N{A}_n\right)={\sum }_{n=1}^N\mu (A_n)$

即有限个不相交集合的并集的测度等于这些集合测度之和。但需要注意的是，计数测度在无限可加性上并不成立，因为无限个集合的并集可能是无限集，而其测度和可能并不等于各个集合测度之和（特别是当这些集合的测度都是正无穷时）。

3. 单调性：如果$A\subseteq B\subseteq X$，那么$\mu (A)\le \mu (B)$。即子集的测度不大于其母集的测度。

4. 空集测度：$\mu (\varnothing )=0$，即空集的测度为0。

应用：

计数测度在离散数学、概率论和统计学等领域有广泛应用。例如，在概率论中，对于有限样本空间，我们可以使用计数测度来计算事件的概率（即事件包含的样本点数与总样本点数的比值）。在统计学中，计数测度可以用于计算数据集中某个特定值的出现次数。

注意：

虽然计数测度在定义上允许无限集的测度为无穷大，但在实际应用中，我们通常更关注有限集或可数集上的计数测度。对于不可数集，计数测度通常不是很有用，因为我们无法直接计算其元素的数量。在这种情况下，我们可能需要使用其他类型的测度（如勒贝格测度）来描述集合的“大小”或“体积”。

完备概率测度

是概率论中的一个重要概念，它是对概率测度的一种加强，以确保某些良好的性质得以成立。以下是对完备概率测度的详细解释：

定义：

设$(\Omega ,\mathcal{F},P)$是一个概率空间，其中$\Omega$是样本空间，$\mathcal{F}$是$\Omega$上的$\sigma$-代数（即由$\Omega$的子集构成的集合，满足可数并、交、补等运算的封闭性），$P$是从$\mathcal{F}$到$[0,1]$的映射，满足概率测度的定义（非负性、可加性、整个样本空间的测度为1）。

如果对于任意$A\in \mathcal{F}$，当$P(A)=0$时，对于任意$B\subseteq A$且$B\in \mathcal{F}$（即$B$是$A$的$\mathcal{F}$-可测子集），都有$P(B)=0$，则称概率测度$P$是完备的。

解释：

1. 零测集：在概率论中，一个测度为0的集合被称为零测集或零概率事件。完备性要求，如果一个集合是零测集，那么它的所有可测子集也必须是零测集。

2. 加强性质：完备性是对概率测度的一种加强。在某些情况下，不完备的概率测度可能导致一些不期望的结果，比如某些集合的测度无法唯一确定。通过要求完备性，我们可以避免这些问题。

3. 构造完备测度：对于不完备的概率测度，我们可以通过扩展其定义域（即增大$\sigma$-代数$\mathcal{F}$）来构造一个完备的概率测度。这通常涉及到添加所有零测集的子集到$\mathcal{F}$中。

4. 应用：完备概率测度在概率论和随机过程中有广泛应用。例如，在构建随机过程（如布朗运动）时，通常需要在一个完备的概率空间中进行，以确保某些良好的性质（如马尔科夫性）得以成立。

例子：

考虑实数集$\mathbb{R}$上的勒贝格测度$\lambda$，并限制在区间$[0,1]$上。我们可以定义一个概率测度$P$为：

$P(A)=\frac{\lambda (A\cap [0,1])}{\lambda ([0,1])}=\lambda (A\cap [0,1])$

对于任意$A\subseteq \mathbb{R}$。然而，这个概率测度在$[0,1]$上的勒贝格不可测集（如康托尔集）上是不完备的。为了得到一个完备的概率测度，我们需要扩展$\sigma$-代数以包含所有勒贝格可测集以及它们的零测子集。

综上所述，完备概率测度是概率论中的一个重要概念，它确保了概率测度的某些良好性质得以成立，并在许多应用领域（如随机过程）中发挥着关键作用。

参考文献

1.文心一言
2.《实变函数》