2022CSP-J T2解密题解

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题目分析

首先对于

$式1：n=pq，$
$式2：ed=(p-1)(q-1)+1$，

可以进行化简。

$式3：ed=pq-p-q+2$

将$式1$带入$式3$得，

$式4：ed=n-p-q+2$

整理易得：

$式5：n-ed+2=p+q$

由$式5$得

$p=n-ed-q+2$

思路

枚举法

50分

考虑在区间$[1,n-ed]$中枚举一正整数$q$，从而算出$p$值，使得$(p-1)(q-1)+1=ed$

时间复杂度：$O(kn)$

100分

考虑到区间$[1,n-ed]$满足单调性，可采取二分优化求解。

时间复杂度：$O(k{\log }_{2}n)$

数学法

因为$p=n-ed-q$，结合$式1$得$q(n-ed-q+2)=n$
由乘法分配律得$-p^2+p(n-ed+2)=n$
显然此为一元二次方程，
根据公式可知根为：$\frac{-(n-ed+2)\pm \sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n}}{-2}$
其中$(n-ed+2{)}^2-4n$若为负数，则方程无实数解，输出NO
否则由于$p<q$,
所以：
$p=\frac{-(n-ed+2)-\sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n}}{-2}$，
$q=\frac{-(n-ed+2)+\sqrt{(n-ed+2{)}^2-4n}}{-2}$

需要注意的是，由于浮点数运算存在误差，所以算出的$p，q$得判断是否满足条件。

时间复杂度：$O(k)$

代码

枚举法

50分代码：点击此处
100分代码：点击此处

数学法

100分代码：点击此处