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谢惠民数学分析习题课讲义参考答案003

谢惠民数学分析习题课讲义参考答案001
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案002
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案003
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案004
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.1.2
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.2.5

1.4习题

  1. 数集有上界
  2. 数集的最小值是
  3. 是区间上的单调增加函数
  4. 是区间上的单调函数
  7. 数列是无穷小量
  8. 数列是无穷大量

2.1.2 思考题

  1. 数列收敛等价定义
  1. 数列 收敛于, ,成立
  2. 数列收敛于, , , 成立
  3. 数列收敛于, 成立 ,其中是一个与和无关的正常数。
    试证明以上定义与上一小节列出的定义的等价性

解答:

  1. 将取成即可
  1. 让足够大，使得即可。
  1. 取即可。
  1. 问：在数列收敛的定义中，是否是的函数?

不是，因为一个可以对应无数个

  1. 判断正确与否:若收敛，则有

前者正确，后者错误。反例取

  1. 设收敛数列的每一项都是整数，问：该数列有什么特殊性质?

从某项之后为常数列

  1. 问：收敛数列是否一定是单调数列?无穷小量是否一定是单调数列?

不一定。反例

  1. 问：一个很小很小的量，例如取1m为单位长度时，几个纳米大小的量是否是无穷小量?

不是。如果对，只要就有,那么当时，是无穷小量。

  1. 问：正无穷大数列是否一定单调增加?无界数列是否一定是无穷大量?

都不一定.前者反例,后者反例

  1. 问：如果数列收敛于,那么绝对值是否随着的增加而单调减少趋于?

不是。反例取收敛于，但非单调减少。

  1. 判断正确与否：非负数列的极限是非负数，正数列的极限是正数.

前者由数列极限的保号性可知成立，后者可取反例

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