Codeforces Round #181 (Div. 2) C. Beautiful Numbers(组合数取模+乘法逆元)

http://codeforces.com/contest/300/problem/C

题意：一个n位的数只包含a，b两个数字并且每一位数字的和也只包含这两个数字，求这样的数有多少？

做法：枚举a出现的次数为x，则b为n-x。如果sum = ax+b(n-x)合法，则这种情况的数目为C(n,x).

C(n,x) = n! / ( (n-x)!  *  x! ) (mod p) =  n! * inv( (n-x)!  *  x!)  {inv(a)为a的乘法逆元}。

 

求乘法逆元的方法（a存在mod p的乘法逆元当且仅当a与m互质）：

    => 

 

法一：扩展欧几里德定理

  =>    =>  

 

法二：欧拉定理(结合快速幂)

根据欧拉定理，如果a与m互质，则有   =>      (φ(m)为m的欧拉函数,即少于或等于m的数中与m互质的数的数目)

特殊的，当m为素数时，少于或等于m的数中与m互质的数的数目为m-1，即

法二

 1 /*

 2  *Author:       Zhaofa Fang

 3  *Created time: 2013-04-25-18.24

 4  *Language:     C++

 5  */

 6 #include <cstdio>

 7 #include <cstdlib>

 8 #include <sstream>

 9 #include <iostream>

10 #include <cmath>

11 #include <cstring>

12 #include <algorithm>

13 #include <string>

14 #include <utility>

15 #include <vector>

16 #include <queue>

17 #include <map>

18 #include <set>

19 using namespace std;

20 

21 typedef long long ll;

22 #define DEBUG(x) cout<< #x << ':' << x << endl

23 #define FOR(i,s,t) for(int i = (s);i <= (t);i++)

24 #define FORD(i,s,t) for(int i = (s);i >= (t);i--)

25 #define REP(i,n) for(int i=0;i<n;i++)

26 #define REPD(i,n) for(int i=n-1;i>=0;i--)

27 #define PII pair<int,int>

28 #define PB push_back

29 #define MP make_pair

30 #define ft first

31 #define sd second

32 #define lowbit(x) (x&(-x))

33 #define INF (1<<30)

34 

35 const ll mod = 1000000007;

36 

37 ll fac[1000111];

38 

39 

40 void init(int n){

41     fac[0] = 1;

42     FOR(i,1,n){

43         fac[i] = fac[i-1]*i%mod;

44     }

45 }

46 ll pow_mod(ll a,ll m,ll n){

47     ll tmp = 1;

48     a%=n;

49     while(m){

50         if(m&1)tmp = tmp*a%n;

51         a = a*a%n;

52         m>>=1;

53     }

54     return tmp;

55 }

56 

57 bool check(int a,int b,int sum){

58     while(sum>0){

59         int tmp = sum%10;

60         if(tmp!=a&&tmp!=b)return false;

61         sum/=10;

62     }

63     return true;

64 }

65 int main(){

66     //freopen("in","r",stdin);

67     //freopen("out","w",stdout);

68     int a,b,n;

69     scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);

70     ll ans = 0;

71     init(n);

72     REP(i,n+1){

73         int x = i;

74         int y = n - i;

75         int sum = a*x + b*y;

76         if(check(a,b,sum)){

77             ll tmp = fac[n]*pow_mod(fac[y]*fac[x],mod-2,mod)%mod;

78             ans = (ans + tmp)%mod;

79         }

80     }

81     cout<<ans<<endl;

82     return 0;

83 }

 

附：维基的资料