有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。
1044: [HAOI2008]木棍分割
1044: [HAOI2008]木棍分割
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Description
Input
输入文件第一行有2个数n,m. 接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.
Output
输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.
Sample Input
3 2
1
1
10
1
1
10
Sample Output
10 2
HINT
两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)
数据范围
n<=50000, 0<=m<=min(n-1,1000).
1<=Li<=1000.
解析：
第一问：给定N个木棒，要求截[1,M]次，问在所有情况中最长的那个木棒的最小值是多少。再输出情况个数。
很显然，若 设截的次数为因变量x，截成之后的最长木棒的长度是y，(0<=x<=M；max(L[i])<y<∑L[i])可以看出 y随着x的上升而下降，是个单调函数(非严格单减)，所以我们可以二分答案，二分y的取值，判断若在此y下求的最少截的次数若小于M，则可行，继续二分，不行，也继续二分，知道精确到一个值即为所求(一般问最大中的最小或最小中的最大都是用二分答案来做的)。
二分答案还有一些容易晕的地方，比如这道题中，要求断开的是连接点，不是任意一处去断，可能会有疑问：如果仅仅是从[max,∑]之间二分，中间有很多数字是这些相邻木棒组不成的长度，有没有可能会算出这些数，导致WA呢？其实是不可能的，比如，假设二分枚举到的答案是X1，而真正答案是X2，且X2<X1,那么就说明有分M次，最大长度是X2，当确定X1可以是，我们的程序保证了继续二分，逼近X2这个正确解。因此，裸的二分可行。
二分时有一些细节，比如可能会陷入死循环，对于这点，每个人的方法都不大一样，自己注意下。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int mod=10007; 4 const int inf=1e9; 5 int ans1,ans2; 6 int N,M; 7 int MAXX,MINN=inf; 8 int L[50005];//记录原序列 9 int sum[50005];//原序列前缀和 10 void find(int,int); 11 bool jud(int); 12 int main(){ 13 scanf("%d%d",&N,&M); 14 for(int i=1;i<=N;i++){ 15 scanf("%d",&L[i]); 16 sum[i]=sum[i-1]+L[i]; 17 MAXX=max(MAXX,L[i]); 18 } 19 find(MAXX,sum[N]); 20 21 return 0; 22 } 23 void find(int l,int r){ 24 if(r-l<=1){ 25 if(r==l+1){ 26 if(jud(l)==true){ 27 ans1=l; 28 cout<<l<<endl; 29 return ; 30 } 31 else{ 32 ans1=r; 33 cout<<r<<endl; 34 return ; 35 } 36 } 37 if(l==r){ 38 ans1=l; 39 cout<<l<<endl; 40 return ; 41 } 42 } 43 int mid=(l+r)>>1; 44 if(jud(mid)==true){ 45 find(l,mid); 46 } 47 else{ 48 find(mid+1,r); 49 } 50 } 51 bool jud(int x){//当最长木棒为x时 52 int tot=0; 53 int pos=0; 54 for(int i=1;i<=N-1;i++){//枚举每一条木棒，不用枚举最后一个，因为它后面本来就是断的 55 if(sum[i]-sum[pos]<=x&&sum[i+1]-sum[pos]>x){ 56 pos=i; 57 tot++; 58 } 59 } 60 if(tot<=M) 61 return true; 62 else 63 return false; 64 }
第二问：在第一问的基础上求出情况个数，第一印象就是dp，暴力如下：
1 int f[50005][1005];//f[i][j]表示前i个木棒，用j次切割，保证每一段都小于等于ans1的情况个数，f[i][j]=∑f[k][j-1] 2 for(int i=1;i<=N;i++){ 3 for(int j=1;j<=M;j++){ 4 for(int k=1;k<=i-1;k++){ 5 if(sum[i]-sum[k]<=ans1){ 6 f[i][j]=(f[i][j]+f[k][j-1])%mod; 7 } 8 } 9 } 10 }
呵呵了，时间空间都过不去,空间复杂度为 O(nm) ，时间复杂度为 O(n^2 m)。DP优化才是出题人最主要的目的。
首先先说空间上，由于状态转移方程为： f[i][j] = Σ f[k][j-1] ((1 <= k <= i-1) && (Sum[i] - Sum[k] <= ans1))，所以第二维空间 j 只和 j-1 有关，就用滚动数组滚动储存就好了，f[i][Now] 代替了 f[i][j] ， f[i][Now^1] 代替了 f[i][j-1] 。为了方便，我们把 f[][Now^1] 叫做 f[][Last] 。位运算异或1的目的是相互转化。这样空间复杂度为 O(n) 。满足空间限制。
然后是时间上的，考虑优化状态转移的过程。对于 f[i][Now] ，其实是 f[mink][Last]...f[i-1][Last] 这一段 f[k][Last] 的和，mink 是满足 Sum[i] - Sum[k] <= Len 的最小的 k ，那么，对于从 1 到 n 枚举的 i ，相对应的 mink 也一定是非递减的（因为 Sum[i] 是递增的）。我们记录下 f[1][Last]...f[i-1][Last] 的和 Sumf ，mink 初始设为 1，每次对于 i 将 mink 向后推移，推移的同时将被舍弃的 p 对应的 f[p][Last] 从 Sumf 中减去。那么 f[i][Now] 就是 Sumf 的值。这样时间复杂度为 O(nm) 。满足时间限制。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int mod=10007; 4 const int inf=1e9; 5 int ans1,ans2; 6 int N,M; 7 int Minf; 8 int Sumf; 9 int MAXX,MINN=inf; 10 int L[50005]; 11 int sum[50005]; 12 int f[50005][10]; 13 void find(int,int); 14 bool jud(int); 15 int main(){ 16 scanf("%d%d",&N,&M); 17 for(int i=1;i<=N;i++){ 18 scanf("%d",&L[i]); 19 sum[i]=sum[i-1]+L[i]; 20 MAXX=max(MAXX,L[i]); 21 } 22 find(MAXX,sum[N]);//二分 23 24 //-------DP------------------------------------------- 25 int Now=0,Last=1,Mink; 26 for(int i=0;i<=M;i++){ 27 Sumf=0; 28 Mink=1; 29 for(int j=1;j<=N;j++){ 30 if(i==0){ 31 if(sum[j]<=ans1) 32 f[j][Now]=1; 33 else 34 f[j][Now]=0; 35 } 36 else{ 37 while(Mink<j&&sum[j]-sum[Mink]>ans1){ 38 Sumf-=f[Mink][Last]; 39 Sumf=(Sumf+mod)%mod; 40 ++Mink; 41 } 42 f[j][Now]=Sumf; 43 } 44 Sumf+=f[j][Last]; 45 Sumf%=mod; 46 } 47 ans2+=f[N][Now]; 48 ans2%=mod; 49 Now^=1; 50 Last =Now^1; 51 } 52 printf("%d", ans2); 53 return 0; 54 } 55 void find(int l,int r){ 56 if(r-l<=1){ 57 if(r==l+1){ 58 if(jud(l)==true){ 59 ans1=l; 60 cout<<l<<" "; 61 return ; 62 } 63 else{ 64 ans1=r; 65 cout<<r<<" "; 66 return ; 67 } 68 } 69 if(l==r){ 70 ans1=l; 71 cout<<l<<" "; 72 return ; 73 } 74 } 75 int mid=(l+r)>>1; 76 if(jud(mid)==true){ 77 find(l,mid); 78 } 79 else{ 80 find(mid+1,r); 81 } 82 } 83 bool jud(int x){ 84 int tot=0; 85 int pos=0; 86 for(int i=1;i<=N-1;i++){ 87 if(sum[i]-sum[pos]<=x&&sum[i+1]-sum[pos]>x){ 88 pos=i; 89 tot++; 90 } 91 } 92 if(tot<=M) 93 return true; 94 else 95 return false; 96 }