ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )

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描述

给你一个m x n (1 <= m, n <= 100)的矩阵A (0<=aij<=10000),要求在矩阵中选择一些数,要求每一行,每一列都至少选到了一个数,使得选出的数的和尽量的小。

 

输入

多组测试数据。首先是数据组数T

对于每组测试数据,第1行是两个正整数m, n,分别表示矩阵的行数和列数。

接下来的m行,每行n个整数,之间用一个空格分隔,表示矩阵A的元素。

 

输出

每组数据输出一行,表示选出的数的和的最小值。

 

数据范围

小数据:1 <= m, n <= 5

大数据:1 <= m, n <= 100

 

 

样例输入
2
3 3
1 2 3
3 1 2
2 3 1
5 5
1 2 3 4 5
5 1 2 3 4
4 5 1 2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1
样例输出
Case 1: 3
Case 2: 5

 

题目大意是有三类纪念品A、B、C。每类纪念品又有N种不同的纪念品Ai、Bi、Ci(1 <= i <= N),然后对于Ai纪念品的剩余个数CAi是N+1-i个,对于Bi纪念品的剩余个数CBi是N+1-i个,Ci纪念品的剩余个数CCi是N+1-i个。

要求拿出三件纪念品Ap, Bq, Ck,不能恰好有两件价值相同,求取法数。

 

可以从两个角度考虑:

(1)       从正面角度考虑:

不能恰好有两件价值相同,那么就是三件价值都相同或者都不同。

1.  三件价值都相同:

假设我都取价值为i的纪念品,那么就有CAi*CBi*CCi可以取(CAi、CBi、CCi分别为Ai、Bi、Ci剩余个数)

所以总数便是

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第1张图片

2.三件价值都不同:

         假设我A取了价值为i的纪念品,那么有CAi种;

那么B不能取价值为i的,假设B取了价值为j的,有CBj种;

那么C不能取价值为i和j的。

 

所以总数便是

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第2张图片

此处说明一下,第一个式子是取A乘取B乘取C(取C是在C总数的基础上减去价值为i和j的)

第二个式子就是第一个式子变形的,将n+1-i替换为i’,同理的j和k。

第三个式子就是把i != j这个条件体现出来。

接下来进一步化简:

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第3张图片

所以总的就是上面两种情况相加,得到

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第4张图片

然后由下面三组式子便可以求解:

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第5张图片

(2)       从反面角度考虑:

不能恰好有两件价值相同,那么就是总选数里面减去它就OK了。

总选数自然就是:

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第6张图片

恰好有两件价值相同,那么就先从ABC三个里选出两种准备选价值相同的i,选法有C(2, 3),即3种。

然后剩余的一个不能选价值为i的,所以总数:

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第7张图片

所以最后答案就是:

ACM学习历程—Hihocoder编程之美测试赛B题 大神与三位小伙伴(组合数学 )_第8张图片

与第一种方法的答案一致。

 

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#define inf 0xfffffff
#define eps 1e-10
#define N 1000000007

using namespace std;

long long n, C1, C2;

void Init()
{
    n %= N;
    C1 = (n+1)*n/2;
    C1 %= N;
    C2 = (n+1)*n/2;
    if (C2%3 == 0)
    {
        C2 /= 3;
        C2 %= N;
        C2 *= 2*n+1;
        C2 %= N;
    }
    else
    {
        C2 %= N;
        C2 *= (2*n+1)/3;
        C2 %= N;
    }
}

long long ans()
{
    long long s = (C1*C1) % N;
    s = (s*C1)%N + (3*s)%N - (3*((C1*C2)%N))%N;
    return (s%N+N)%N;
}

int main()
{
    //freopen("test.txt", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int times = 1; times <= T; ++times)
    {
        scanf("%lld", &n);
        printf("Case %d: ", times);
        Init();
        printf("%lld\n", ans());
    }
    return 0;
}

 

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