上下界网络流模型常见解法
一、无源汇可行流
1、设立虚拟源汇S、T，IN[i]记录i点流入下限的总和，OUT[i]记录i点流出下限总和
2、两点间连容量为上限-下限的边
3、sum=0，遍历所有点i，f=IN[i]-OUT[i]。如果f>0，sum+=f，add(S,i,f)；否则，add(i,T,-f)
4、如果S到T的最大流等于sum，则存在可行流，反之不存在
例题
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2314
n个点，m条边，每条边从a到b有一个流量下限和一个流量上限，问是否存在可行流，如果存在，输出每边流量
#include <iostream> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std ; const int INF=0xfffffff ; struct node { int s,t,cap,nxt ; }e[400005] ; int m,n,cnt,head[100005],level[100005],q[100005] ; void add(int s,int t,int cap) { e[cnt].s=s ;e[cnt].t=t ;e[cnt].cap=cap ;e[cnt].nxt=head[s] ;head[s]=cnt++ ; e[cnt].s=t ;e[cnt].t=s ;e[cnt].cap=0 ;e[cnt].nxt=head[t] ;head[t]=cnt++ ; } bool build(int s,int t) { int front=0,rear=0 ; memset(level,-1,sizeof(level)) ; q[rear++]=s ; level[s]=1 ; while(front<rear) { int u=q[front++] ; for(int i=head[u] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt) { int tt=e[i].t ; if(level[tt]==-1 && e[i].cap>0) { level[tt]=level[u]+1 ; if(tt==t)return true ; q[rear++]=tt ; } } } return false ; } int find(int s,int t,int flow) { if(s==t)return flow ; int ret=0,a ; for(int i=head[s] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt) { int tt=e[i].t ; if(level[tt]==level[s]+1 && e[i].cap>0) { a=find(tt,t,min(e[i].cap,flow-ret)) ; e[i].cap-=a ; e[i^1].cap+=a ; ret+=a ; if(ret==flow) return ret ; } } if(!ret)level[s]=-1 ; return ret ; } int dinic(int s,int t) { int flow,ret=0 ; while(build(s,t)) while(flow=find(s,t,INF)) ret+=flow ; return ret ; } int l[100005] ; int IN[205],OUT[205] ; int C[100005] ; int main() { int t ; scanf("%d",&t) ; while(t--) { scanf("%d%d",&n,&m) ; cnt=0 ; memset(head,-1,sizeof(head)) ; memset(IN,0,sizeof(IN)) ; memset(OUT,0,sizeof(OUT)) ; for(int i=0 ;i<m ;i++) { int a,b,w ; scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&l[i],&w) ; IN[b]+=l[i] ;OUT[a]+=l[i] ; C[i]=w ; add(a,b,w-l[i]) ; } int S,T ; S=0 ;T=n+1 ; int sum=0 ; for(int i=1 ;i<=n ;i++) { int f=IN[i]-OUT[i] ; if(f>0) { add(S,i,f) ; sum+=f ; } else add(i,T,-f) ; } if(dinic(S,T)==sum) { puts("YES") ; for(int i=0 ;i<m ;i++) { printf("%d\n",C[i]-e[i*2].cap) ; } } else puts("NO") ; } return 0 ; }
二、有源汇可行最大流
1、源汇s、t，先转化为无源汇可行流判断可行性，建图和判断方法和上面一样，只是多加一条边add(t,s,INF)
2、如果有解，答案的最大流等于在上图的残留网络中s到t再做一次最大流得到的结果
例题
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3442
源点到n个点的流量上限是D，m个点到汇点的下限是G，n和m之间有一些边，容量范围是[L,R]。求最大流。
#include <iostream> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> using namespace std ; const int INF=0xfffffff ; struct node { int s,t,cap,nxt ; }e[400005] ; int m,n,cnt,head[100005],level[100005],q[100005] ; void add(int s,int t,int cap) { e[cnt].s=s ;e[cnt].t=t ;e[cnt].cap=cap ;e[cnt].nxt=head[s] ;head[s]=cnt++ ; e[cnt].s=t ;e[cnt].t=s ;e[cnt].cap=0 ;e[cnt].nxt=head[t] ;head[t]=cnt++ ; } bool build(int s,int t) { int front=0,rear=0 ; memset(level,-1,sizeof(level)) ; q[rear++]=s ; level[s]=1 ; while(front<rear) { int u=q[front++] ; for(int i=head[u] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt) { int tt=e[i].t ; if(level[tt]==-1 && e[i].cap>0) { level[tt]=level[u]+1 ; if(tt==t)return true ; q[rear++]=tt ; } } } return false ; } int find(int s,int t,int flow) { if(s==t)return flow ; int ret=0,a ; for(int i=head[s] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt) { int tt=e[i].t ; if(level[tt]==level[s]+1 && e[i].cap>0) { a=find(tt,t,min(e[i].cap,flow-ret)) ; e[i].cap-=a ; e[i^1].cap+=a ; ret+=a ; if(ret==flow) return ret ; } } if(!ret)level[s]=-1 ; return ret ; } int dinic(int s,int t) { int flow,ret=0 ; while(build(s,t)) while(flow=find(s,t,INF)) ret+=flow ; return ret ; } int IN[4005],OUT[4005] ; vector <int> vis[4005] ; vector <int> aa[4005] ; int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { cnt=0 ; memset(head,-1,sizeof(head)) ; memset(IN,0,sizeof(IN)) ; memset(OUT,0,sizeof(OUT)) ; int s,t ; s=0 ;t=n+m+1 ; for(int i=1 ;i<=m ;i++) { int G ; scanf("%d",&G) ; add(n+i,t,INF-G) ; OUT[n+i]+=G ;IN[t]+=G ; } for(int i=0 ;i<4005 ;i++) { vis[i].clear() ; aa[i].clear() ; } for(int i=1 ;i<=n ;i++) { int C,D ; scanf("%d%d",&C,&D) ; add(s,i,D) ; for(int j=0 ;j<C ;j++) { int a,L,R ; scanf("%d%d%d",&a,&L,&R) ; add(i,a+n+1,R-L) ; vis[i].push_back(cnt-1) ; aa[i].push_back(L) ; OUT[i]+=L ;IN[a+n+1]+=L ; } } add(t,s,INF) ; int S,T ; S=t+1 ;T=S+1 ; int sum=0 ; for(int i=0 ;i<=t ;i++) { int f=IN[i]-OUT[i] ; if(f>0) { add(S,i,f) ; sum+=f ; } else add(i,T,-f) ; } if(dinic(S,T)==sum) { int ans=dinic(s,t) ; printf("%d\n",ans) ; for(int i=1 ;i<=n ;i++) { for(int j=0 ;j<vis[i].size() ;j++) printf("%d\n",e[vis[i][j]].cap+aa[i][j]) ; } } else puts("-1") ; putchar('\n') ; } return 0 ; }
三、有源汇可行最小流
1、源汇s、t，先转化为无源汇可行流判断可行性，建图方法和上面一样
2、对S、T求最大流f1，之后add(t,s,INF)
3、再次对S、T求最大流f2，如果f1+f2等于sum，则有解，最小流等于t到s的流量
例题
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3157
n个接线柱，还有两个正负极，m条边，两个元件之间有一个正常工作的电流下限，求整个电路都正常工作的最小电流。
显然正极是源点，负极是汇点，开搞
#include <iostream> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> using namespace std ; const int INF=0xfffffff ; struct node { int s,t,cap,nxt ; }e[400005] ; int m,n,cnt,head[100005],level[100005],q[100005] ; void add(int s,int t,int cap) { e[cnt].s=s ;e[cnt].t=t ;e[cnt].cap=cap ;e[cnt].nxt=head[s] ;head[s]=cnt++ ; e[cnt].s=t ;e[cnt].t=s ;e[cnt].cap=0 ;e[cnt].nxt=head[t] ;head[t]=cnt++ ; } bool build(int s,int t) { int front=0,rear=0 ; memset(level,-1,sizeof(level)) ; q[rear++]=s ; level[s]=1 ; while(front<rear) { int u=q[front++] ; for(int i=head[u] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt) { int tt=e[i].t ; if(level[tt]==-1 && e[i].cap>0) { level[tt]=level[u]+1 ; if(tt==t)return true ; q[rear++]=tt ; } } } return false ; } int find(int s,int t,int flow) { if(s==t)return flow ; int ret=0,a ; for(int i=head[s] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt) { int tt=e[i].t ; if(level[tt]==level[s]+1 && e[i].cap>0) { a=find(tt,t,min(e[i].cap,flow-ret)) ; e[i].cap-=a ; e[i^1].cap+=a ; ret+=a ; if(ret==flow) return ret ; } } if(!ret)level[s]=-1 ; return ret ; } int dinic(int s,int t) { int flow,ret=0 ; while(build(s,t)) while(flow=find(s,t,INF)) ret+=flow ; return ret ; } int IN[4005],OUT[4005] ; int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { if(!n && !m)break ; cnt=0 ; memset(head,-1,sizeof(head)) ; memset(IN,0,sizeof(IN)) ; memset(OUT,0,sizeof(OUT)) ; int s,t ; s=0 ;t=n+1 ; for(int i=1 ;i<=m ;i++) { int a,b,w ; char s1[15],s2[15] ; scanf("%s%s%d",s1,s2,&w) ; if(s1[0]=='+')a=s ; else sscanf(s1,"%d",&a) ; if(s2[0]=='-')b=t ; else sscanf(s2,"%d",&b) ; add(a,b,INF-w) ; OUT[a]+=w ;IN[b]+=w ; } int S,T ; S=t+1 ;T=S+1 ; int sum=0 ; for(int i=0 ;i<=t ;i++) { int f=IN[i]-OUT[i] ; if(f>0) { add(S,i,f) ; sum+=f ; } else add(i,T,-f) ; } int f1=dinic(S,T) ; int gao=cnt ; add(t,s,INF) ; int f2=dinic(S,T) ; if(f1+f2==sum) { printf("%d\n",e[gao+1].cap) ; } else puts("impossible") ; } return 0 ; }