Cauchy Argument Principle 是复分析中的一个重要原理,它描述了一个全纯函数(meromorphic function)在一个闭合路径内的零点与极点的关系。具体来说,对于一个有理函数 f ( z ) f(z) f(z),如果 f ( z ) f(z) f(z) 在一个简单闭合路径 Γ \Gamma Γ 内外全纯(除了一些孤立奇点),则有以下关系:
1 2 π i ∮ Γ f ′ ( z ) f ( z ) d z = Z − P \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} dz = Z - P 2πi1∮Γf(z)f′(z)dz=Z−P
其中:
直观理解:
该原理说明,函数的 相位变化(即路径积分)与它在路径内的奇点(零点和极点)的分布直接相关。
积分形式与相位变化
零点与极点的平衡
闭合路径方向影响正负
适用于有理函数和一般全纯函数
路径上的条件
判断区域内的零点与极点个数
通过路径积分直接计算 Z − P Z - P Z−P,得出路径内零点和极点的差值。
稳定性分析
在控制理论中,Cauchy Argument Principle 用于判断系统的特征方程是否具有右半平面的根,从而判断系统的稳定性。
复变函数的相位变化
研究函数 f ( z ) f(z) f(z) 的相位如何随复平面变化,例如在信号处理和滤波器设计中。
与 Nyquist 稳定判据的关系
Nyquist 稳定性判据本质上是 Cauchy Argument Principle 的工程应用,判断系统反馈的闭环稳定性。
Cauchy-Goursat 定理
Rouché 定理
留数定理
% 生成GIF的文件名
filename = 'cauchy_principle.gif';
for bin = 1:m
s = pt(1,bin)+ pt(2,bin)*1i;
% S平面绘图
subplot(1, 2, 1);
plot(real(s), imag(s), 'r.');
title('S-plane Contour');
axis([-3 2 -2 2]);
hold all;
plot([-1, -.8] , [0 0], 'bx', 'MarkerSize', 10);
plot([-0.75 -0.75], [.5 -.5], 'bo', 'MarkerSize', 10);
% W平面绘图
tnf = (s^2 + 1.5*s + 0.8125)/((s + 1)*(s + 0.8));
subplot(1, 2, 2);
plot(real(tnf), imag(tnf), 'g.');
plot(0, 0, 'k*', 'MarkerSize', 10)
title('W-plane Plot');
axis([-3 2 -3 3]);
hold all;
% 捕获帧并保存为GIF
frame = getframe(gcf); % 获取当前帧
im = frame2im(frame); % 转换为图像
[imind, cm] = rgb2ind(im, 256); % 转换为索引图像
if bin == 1
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'Loopcount', inf, 'DelayTime', 0.02);
else
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.02);
end
pause(0.02);
end
% 生成GIF的文件名
filename = 'cauchy_principle_clockwise.gif';
% 将路径点改为顺时针
angles = linspace(0, -2*pi, m); % 顺时针方向
pt = [cos(angles) + xoff; sin(angles) + yoff];
for bin = 1:m
s = pt(1, bin) + pt(2, bin) * 1i;
% S平面绘图
subplot(1, 2, 1);
plot(real(s), imag(s), 'r.');
title('S-plane Contour');
axis([-3 2 -2 2]);
hold all;
% 设置两个极点位置:-1 和 -0.8
plot([1, -0.8], [0, 0], 'bx', 'MarkerSize', 10);
% 设置一个零点位置:-0.75 + 0.5i
plot([-0.75, -0.75], [0.5, -0.5], 'bo', 'MarkerSize', 10);
% W平面绘图
tnf = (s - (-0.75 + 0.5i)) * (s - (-0.75 - 0.5i)) / ((s - 1) * (s + 0.8));
subplot(1, 2, 2);
plot(real(tnf), imag(tnf), 'g.');
plot(0, 0, 'k*', 'MarkerSize', 10);
title('W-plane Plot');
axis([-3 2 -3 3]);
hold all;
% 捕获帧并保存为GIF
frame = getframe(gcf); % 获取当前帧
im = frame2im(frame); % 转换为图像
[imind, cm] = rgb2ind(im, 256); % 转换为索引图像
if bin == 1
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'Loopcount', inf, 'DelayTime', 0.02);
else
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.02);
end
pause(0.02);
end
% 生成GIF的文件名
filename = 'cauchy_principle_clockwise.gif';
% 将路径点改为顺时针
angles = linspace(0, -2*pi, m); % 顺时针方向
pt = [cos(angles) + xoff; sin(angles) + yoff];
for bin = 1:m
s = pt(1, bin) + pt(2, bin) * 1i;
% S平面绘图
subplot(1, 2, 1);
plot(real(s), imag(s), 'r.');
title('S-plane Contour');
axis([-3 2 -2 2]);
hold all;
% 设置两个极点位置:-1 和 -0.8
plot([-1, -0.8], [0, 0], 'bx', 'MarkerSize', 10);
% 设置一个零点位置:-0.75 + 0.5i
plot([-0.75, 0.75], [0.5, -0.5], 'bo', 'MarkerSize', 10);
% W平面绘图
tnf = (s - (-0.75 + 0.5i)) * (s - (0.75 - 0.5i)) / ((s + 1) * (s + 0.8));
subplot(1, 2, 2);
plot(real(tnf), imag(tnf), 'g.');
plot(0, 0, 'k*', 'MarkerSize', 10);
title('W-plane Plot');
axis([-10 10 -10 10]);
hold all;
% 捕获帧并保存为GIF
frame = getframe(gcf); % 获取当前帧
im = frame2im(frame); % 转换为图像
[imind, cm] = rgb2ind(im, 256); % 转换为索引图像
if bin == 1
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'Loopcount', inf, 'DelayTime', 0.02);
else
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.02);
end
pause(0.02);
end
% 生成GIF的文件名
filename = 'cauchy_principle_clockwise.gif';
% 将路径点改为顺时针
angles = linspace(0, -2*pi, m); % 顺时针方向
pt = [cos(angles) + xoff; sin(angles) + yoff];
for bin = 1:m
s = pt(1, bin) + pt(2, bin) * 1i;
% S平面绘图
subplot(1, 2, 1);
plot(real(s), imag(s), 'r.');
title('S-plane Contour');
axis([-3 2 -2 2]);
hold all;
% 设置两个极点位置:-1 和 -0.8
plot([-1, -0.8], [0, 0], 'bx', 'MarkerSize', 10);
% 设置一个零点位置:-0.75 + 0.5i
plot([0.75, 0.75], [0.5, -0.5], 'bo', 'MarkerSize', 10);
% W平面绘图
tnf = (s - (0.75 + 0.5i)) * (s - (0.75 - 0.5i)) / ((s + 1) * (s + 0.8));
subplot(1, 2, 2);
plot(real(tnf), imag(tnf), 'g.');
plot(0, 0, 'k*', 'MarkerSize', 10);
title('W-plane Plot');
axis([-10 10 -10 10]);
hold all;
% 捕获帧并保存为GIF
frame = getframe(gcf); % 获取当前帧
im = frame2im(frame); % 转换为图像
[imind, cm] = rgb2ind(im, 256); % 转换为索引图像
if bin == 1
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'Loopcount', inf, 'DelayTime', 0.02);
else
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.02);
end
pause(0.02);
end
% 生成GIF的文件名
filename = 'cauchy_principle_clockwise.gif';
% 将路径点改为顺时针
angles = linspace(0, -2*pi, m); % 顺时针方向
pt = [cos(angles) + xoff; sin(angles) + yoff];
for bin = 1:m
s = pt(1, bin) + pt(2, bin) * 1i;
% S平面绘图
subplot(1, 2, 1);
plot(real(s), imag(s), 'r.');
title('S-plane Contour');
axis([-3 2 -2 2]);
hold all;
% 设置两个极点位置:-1 和 -0.8
plot([1, 0.8], [0, 0], 'bx', 'MarkerSize', 10);
% 设置一个零点位置:-0.75 + 0.5i
plot([-0.75, -0.75], [0.5, -0.5], 'bo', 'MarkerSize', 10);
% W平面绘图
tnf = (s - (-0.75 + 0.5i)) * (s - (-0.75 - 0.5i)) / ((s - 1) * (s - 0.8));
subplot(1, 2, 2);
plot(real(tnf), imag(tnf), 'g.');
plot(0, 0, 'k*', 'MarkerSize', 10);
title('W-plane Plot');
axis([-3 2 -3 3]);
hold all;
% 捕获帧并保存为GIF
frame = getframe(gcf); % 获取当前帧
im = frame2im(frame); % 转换为图像
[imind, cm] = rgb2ind(im, 256); % 转换为索引图像
if bin == 1
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'Loopcount', inf, 'DelayTime', 0.02);
else
imwrite(imind, cm, filename, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.02);
end
pause(0.02);
end
以下是用CSDN的Markdown格式给出的内容,已按照要求格式化:
通过Cauchy积分原理,零极点分布对复平面的路径积分有直接影响。零点和极点的数目差(零极点余数)决定了W平面路径环绕原点的次数和方向。代码的实现展示了不同分布下,S平面路径变换至W平面的动态过程,有助于理解复变函数和路径积分之间的关系。