CCF 2021-09-2 非零段划分
题目描述
A1,A2,⋯,An 是一个由 n 个自然数（非负整数）组成的数组。我们称其中 Ai,⋯,Aj 是一个非零段，当且仅当以下条件同时满足：
- 1≤i≤j≤n；
- 对于任意的整数 k，若 i≤k≤j，则 Ak>0；
- i=1 或 Ai−1=0；
- j=n 或 Aj+1=0。
下面展示了几个简单的例子：
- A=[3,1,2,0,0,2,0,4,5,0,2] 中的 4 个非零段依次为 [3,1,2]、[2]、[4,5] 和 [2]；
- A=[2,3,1,4,5] 仅有 1 个非零段；
- A=[0,0,0] 则不含非零段（即非零段个数为 0）。
现在我们可以对数组 A 进行如下操作：任选一个正整数 p，然后将 A 中所有小于 p 的数都变为 0。试选取一个合适的 p，使得数组 A 中的非零段个数达到最大。若输入的 A 所含非零段数已达最大值，可取 p=1，即不对 A 做任何修改。
输入格式
从标准输入读入数据。
输入的第一行包含一个正整数 n。
输入的第二行包含 n 个用空格分隔的自然数 A1,A2,⋯,An。
输出格式
输出到标准输出。
仅输出一个整数，表示对数组 A 进行操作后，其非零段个数能达到的最大值。
样例1输入
11
3 1 2 0 0 2 0 4 5 0 2
样例1输出
5
样例1解释
p=2 时，A=[3,0,2,0,0,2,0,4,5,0,2]，5 个非零段依次为 [3]、[2]、[2]、[4,5] 和 [2]；此时非零段个数达到最大。
样例2输入
14
5 1 20 10 10 10 10 15 10 20 1 5 10 15样例2输出
4
样例2解释
p=12 时，A=[0,0,20,0,0,0,0,15,0,20,0,0,0,15]，4 个非零段依次为 [20]、[15]、[20] 和 [15]；此时非零段个数达到最大。
样例3输入
3
1 0 0
样例3输出
1
样例3解释
p=1 时，A=[1,0,0]，此时仅有 1 个非零段 [1]，非零段个数达到最大。
样例4输入
3
0 0 0样例4输出
0Data
样例4解释
无论 p 取何值，A 都不含有非零段，故非零段个数至多为 0。
子任务
70% 的测试数据满足 n≤1000；
全部的测试数据满足 n≤5×
，且数组 A 中的每一个数均不超过 
。
问题分析
目录
70分代码（递归+暴力）
100分代码（递归+暴力+三分）
100分代码（索引）
70分代码（递归+暴力）
第一眼就看到了问题规模的补充，简单计算之后就明白不可能使用模拟暴力解题，所以开始就奔着70分去的，看到寻找P之前一度感觉良好，然后就......总之，70分的思路就是先根据题意利用递归求出给定序列的非零段数，然后再暴力每一个可能的P值，记录并更新max。
#include
using namespace std;
int const N = 1000;
int a[N];
int feilingduan(int s,int e,int p){
if(s == e ){
if(a[s] - p < 0)
return 0;
else{
return 1;
}
}else{
int mid = (s + e)/2;
if(a[mid] - p >= 0 && a[mid+1] - p >= 0){
return feilingduan(s,mid,p) + feilingduan(mid+1,e,p) - 1;
}else{
return feilingduan(s,mid,p) + feilingduan(mid+1,e,p);
}
}
}
int main(){
int n;
cin >> n;
int maxa = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
cin>>a[i];
if(a[i] > maxa){
maxa = a[i];
}
}
int p = 1;
int max = 0;
for(p = 1;p <= maxa;p++ ){
if(max < feilingduan(0,n-1,p) ){
max = feilingduan(0,n-1,p);
}
}
cout<
100分代码（递归+暴力+三分）
接下来就是在此基础上的优化了，开始直接想到了类似二分的思路，后来思考之后发现无法实现，因为既没有说明是单调的，也无法说明是单极值问题，后来看了老师的题解，才知道有三分的优化思路（虽然老师说是撞大运，不过还是100了。
#include//42min
using namespace std;
int const N = 5*100000;
int a[N];
int n;
int feilingduan(int s,int e,int p){
if(s == e ){
if(a[s] - p < 0)
return 0;
else{
return 1;
}
}else{
int mid = (s + e)/2;
if(a[mid] - p >= 0 && a[mid+1] - p >= 0){
return feilingduan(s,mid,p) + feilingduan(mid+1,e,p) - 1;
}else{
return feilingduan(s,mid,p) + feilingduan(mid+1,e,p);
}
}
}
int findmax(int sp,int ep){
while(ep - sp > 4){
int ssp = sp + (ep - sp + 1) / 3;
int eep = ep - (ep - sp + 1) / 3;
if(feilingduan(0,n-1,ssp) < feilingduan(0,n-1,eep))
sp = ssp;
else
ep = eep;
}
int max = 0;
for(int i = sp;i <= ep ;i++ ){
if(max < feilingduan(0,n-1,i) ){
max = feilingduan(0,n-1,i);
}
}
return max;
}
int main(){
cin >> n;
int maxa = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
cin>>a[i];
if(a[i] > maxa){
maxa = a[i];
}
}
if(n <= 1000){
int p = 1;
int max = 0;
for(p = 1;p <= maxa;p++ ){
if(max < feilingduan(0,n-1,p) ){
max = feilingduan(0,n-1,p);
}
}
cout<
100分代码（索引）
还是根据老师的题解，学习了老师关于索引代码，不过对于book数组存储有没有置为0，用1代表置为0，我感觉我容易混淆，所以做了更改，改用数组表示它的轮廓，比如1为非0，0为< P，不过改变划分段的条件那些都没有改变。
#include//42min + 30min
#include
using namespace std;
int const N = 5*100000;
int a[N];//存储每一个具体数据
int range[N];//存储为抽象的 0 1 0 代表 < p 1 代表 >= p
vectorv[10000+1];//每一个v[i]存储对应 所有 i 的位置
int main(){
int n;
int last = 1;//last为上一次划分数，p = 0 时，last = 1
cin >> n;
int maxa = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
cin >> a[i];
v[a[i]].push_back(i);
if(a[i] > maxa){
maxa = a[i];
}
range[i] = 1;
}
range[0] = 0;
range[n + 1] = 0;
int max = 0;
for(int p = 0;p <= maxa;p++){
if(v[p].size() != 0){//将小于p的数在range数组中标记为0,这里相当于将条件改成了<=p 的改为 1，题目不追究p影响不大
int t = last;
for(int i = 0;i < v[p].size();i++){
range[ v[p][i] ]= 0;//将v[p]中的所有都置为 0
if(range[ v[p][i] - 1] == 0 && range[ v[p][i] + 1] == 0){
t--;
}else if(range[ v[p][i] - 1] == 1 && range[ v[p][i] + 1] == 1){
t++;
}
}
if(max < last) max = last;
if(max < t) max = t;
last = t;
}
}
cout<