群的定义与基本性质

群的定义与基本性质

一、群的定义与基本性质

1. 群的定义：
   群是一个集合，配合一个二元运算，满足以下四个条件：

   • 封闭性：对于群 $G$ 中的任意元素 $a,b$，其运算结果 $a\ast b$ 仍属于 $G$。
     $$\forall a,b\in G,a\ast b\in G$$
   • 结合性：群运算满足结合律，即对于群 $G$ 中的任意元素 $a,b,c$，有：
     $$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$$
   • 单位元素：存在一个单位元素 $e\in G$，使得对于任意 $a\in G$，有：
     $$a\ast e=e\ast a=a$$
   • 逆元素：对于群 $G$ 中的任意元素 $a$，存在逆元素 $a^{-1}\in G$，使得：
     $$a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$$

2. 群的性质：

   • 交换群（Abelian群）：如果群中的元素满足交换律，即对于任意 $a,b\in G$，有：
     $$a\ast b=b\ast a$$
     则称 $G$ 为交换群。
   • 非交换群（非Abelian群）：如果存在 $a,b\in G$ 使得 $a\ast b\ne b\ast a$，则称 $G$ 为非交换群。

二、群的例子

1. 整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$：

   • 该群由整数集 $\mathbb{Z}$ 组成，群运算为加法。
   • 其单位元素为 0，任意整数 $a$ 的逆元素是 $-a$。
   • 显然，$\mathbb{Z}$ 是交换群。

2. 对称群 $S_n$：

   • 对称群 $S_n$ 是由所有 $n$ 个元素的排列构成的群。
   • 该群的运算是排列的组合。
   • 该群的单位元素是恒等置换（即不改变任何元素的置换），每个置换都有一个逆置换。

3. 矩阵群 $G{L}_n(\mathbb{R})$：

   • 一般线性群：矩阵群 $G{L}_n(\mathbb{R})$ 是所有 $n\times n$ 非奇异矩阵组成的群，运算为矩阵乘法。
   • 该群的单位元素是单位矩阵，矩阵的逆元素是其逆矩阵。

三、群的同构

1. 同构群（Isomorphic Groups）：

   • 如果存在一个双射映射 $\varphi :G_1\to G_2$，使得对于所有 $a,b\in G_1$，有：
     $$\varphi (a\ast b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$$
     则称 $G_1$ 和 $G_2$ 是同构群。
   • 同构群具有相同的结构，换句话说，群的代数结构不会因为选择不同的群而改变。

2. 判断两个群是否同构：

   • 如果两个群的元素个数不同，则它们不可能同构。
   • 如果两个群是交换群，且它们的阶数（元素个数）相同，那么它们有可能是同构群。
   • 可以通过构造同构映射，来判断两个群是否同构。

四、课堂活动

1. 举例说明常见的群：整数加法群、矩阵群等，讨论其结构

活动内容：

• 整数加法群：验证整数加法群是否满足群的四个条件，计算一些例子，如：

  • 0 是单位元素。
  • 任意整数的逆元素：$a^{-1}=-a$。
  • 验证结合性和封闭性。

• 矩阵群：对于 $2\times 2$ 矩阵群 $G{L}_2(\mathbb{R})$，计算几个矩阵的乘法，并检查其是否满足群的四个条件。

2. 通过具体问题引导学生理解群的性质

活动内容：

• 设计一个问题，要求学生通过判断给定的运算是否满足群的条件，从而验证其是否是群。
• 举例：给定集合 $G=\{0,2,4\}$ 和运算“加 2 mod 6”，判断该集合是否构成群。

五、Python代码实现示例

1. 判断群的四个条件：
   通过简单的Python代码判断一个集合及其运算是否满足群的四个条件。

import numpy as np

# 定义集合和运算
G = [0, 2, 4]
mod = 6

# 封闭性：验证加法模6
def is_closed(G, mod):
    for a in G:
        for b in G:
            if (a + b) % mod not in G:
                return False
    return True

# 结合性：验证加法模6的结合性
def is_associative(G, mod):
    for a in G:
        for b in G:
            for c in G:
                if ((a + b) % mod + c) % mod != (a + (b + c) % mod) % mod:
                    return False
    return True

# 单位元素：存在一个单位元素e，使得a + e = a
def has_identity(G, mod):
    for e in G:
        if all((a + e) % mod == a for a in G):
            return e
    return None

# 逆元素：每个元素都有一个逆元素
def has_inverses(G, mod, e):
    for a in G:
        if not any((a + b) % mod == e for b in G):
            return False
    return True

# 验证群的条件
e = has_identity(G, mod)
if e is not None and is_closed(G, mod) and is_associative(G, mod) and has_inverses(G, mod, e):
    print("该集合及运算满足群的四个条件！")
else:
    print("该集合及运算不满足群的条件。")

2. 矩阵群的示例：

import numpy as np

# 定义矩阵群
def is_invertible(matrix):
    return np.linalg.det(matrix) != 0

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[2, 0], [0, 1]])

# 判断A和B是否为可逆矩阵
if is_invertible(A) and is_invertible(B):
    print("矩阵A和B都是可逆矩阵。")
else:
    print("矩阵A或B不是可逆矩阵。")

总结

通过这节课，将掌握群的定义、基本性质、群的例子、群的同构等内容。