机器学习数学基础：11.行列式的多种计算方法

行列式的多种计算方法

1. 行（列）相等型
   • 对于行列式 ∣ 1 + a 1 1 1 2 2 + a 2 2 3 3 3 + a 3 4 4 4 4 + a ∣ \begin{vmatrix}1 + a&1&1&1\\2&2 + a&2&2\\3&3&3 + a&3\\4&4&4&4 + a\end{vmatrix} ​1+a234​12+a34​123+a4​1234+a​ ​，通过将第一行元素都变为$10+a$，得到 ∣ 10 + a 10 + a 10 + a 10 + a 2 2 + a 2 2 3 3 3 + a 3 4 4 4 4 + a ∣ \begin{vmatrix}10 + a&10 + a&10 + a&10 + a\\2&2 + a&2&2\\3&3&3 + a&3\\4&4&4&4 + a\end{vmatrix} ​10+a234​10+a2+a34​10+a23+a4​10+a234+a​ ​。
   • 提出公因子$(10+a)$，即 ( 10 + a ) ∣ 1 1 1 1 2 2 + a 2 2 3 3 3 + a 3 4 4 4 4 + a ∣ (10 + a)\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&2 + a&2&2\\3&3&3 + a&3\\4&4&4&4 + a\end{vmatrix} (10+a) ​1234​12+a34​123+a4​1234+a​ ​。
   • 再通过初等行变换，将其化为上三角行列式 ( 10 + a ) ∣ 1 1 1 1 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a ∣ (10 + a)\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&a\end{vmatrix} (10+a) ​1000​1a00​10a0​100a​ ​。
   • 最终结果为$(10+a)a^3$。
2. 爪型行列式
   • 对于行列式 ∣ 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1& -1& -1& -1& -1\\1&a_1& & & \\2& &a_2& & \\3& & &a_3& \\4& & & &a_4\end{vmatrix} ​11234​−1a1​​−1a2​​−1a3​​−1a4​​ ​，通过逐步消元，将其化为上三角行列式。
   • 第一步化为 ∣ 1 + 1 a 1 0 − 1 − 1 − 1 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1+\frac{1}{a_1}& 0& -1& -1& -1\\1&a_1& & & \\2& &a_2& & \\3& & &a_3& \\4& & & &a_4\end{vmatrix} ​1+a1​1​1234​0a1​​−1a2​​−1a3​​−1a4​​ ​，继续变换依次得到 ∣ 1 + 1 a 1 + 2 a 2 0 0 − 1 − 1 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1+\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}& 0& 0& -1& -1\\1&a_1& & & \\2& &a_2& & \\3& & &a_3& \\4& & & &a_4\end{vmatrix} ​1+a1​1​+a2​2​1234​0a1​​0a2​​−1a3​​−1a4​​ ​， ∣ 1 + 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 0 0 0 − 1 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1+\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}& 0& 0& 0& -1\\1&a_1& & & \\2& &a_2& & \\3& & &a_3& \\4& & & &a_4\end{vmatrix} ​1+a1​1​+a2​2​+a3​3​1234​0a1​​0a2​​0a3​​−1a4​​ ​， ∣ 1 + 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 + 4 a 4 0 0 0 0 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1+\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{4}{a_4}& 0& 0& 0& 0\\1&a_1& & & \\2& &a_2& & \\3& & &a_3& \\4& & & &a_4\end{vmatrix} ​1+a1​1​+a2​2​+a3​3​+a4​4​1234​0a1​​0a2​​0a3​​0a4​​ ​。
   • 结果为$(1+\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{4}{a_4})a_1{a}_2{a}_3{a}_4$。
3. 矩阵分块行列式
   • 拉普拉斯展开式
     • 设$A$是$m$阶矩阵，$B$是$n$阶矩阵，则有：
       - ∣ A O O B ∣   = ∣ A C O B ∣   = ∣ A O D B ∣   = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}\ =\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}\ =\begin{vmatrix}A&O\\D&B\end{vmatrix}\ =|A||B| ​AO​OB​ ​ = ​AO​CB​ ​ = ​AD​OB​ ​ =∣A∣∣B∣
       - ∣ O A B O ∣   = ∣ O A B C ∣   = ∣ D A B O ∣   = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}O&A\\B&O\end{vmatrix}\ =\begin{vmatrix}O&A\\B&C\end{vmatrix}\ =\begin{vmatrix}D&A\\B&O\end{vmatrix}\ =(-1)^{mn}|A||B| ​OB​AO​ ​ = ​OB​AC​ ​ = ​DB​AO​ ​ =(−1)mn∣A∣∣B∣
   • 2014考研真题
     • 对于行列式 ∣ 0 a b 0 a 0 0 b 0 c d 0 c 0 0 d ∣ \begin{vmatrix}0&a&b&0\\a&0&0&b\\0&c&d&0\\c&0&0&d\end{vmatrix} ​0a0c​a0c0​b0d0​0b0d​ ​，通过交换行得到 ( − 1 ) ∣ 0 a b 0 0 c d 0 a 0 0 b c 0 0 d ∣ (-1)\begin{vmatrix}0&a&b&0\\0&c&d&0\\a&0&0&b\\c&0&0&d\end{vmatrix} (−1) ​00ac​ac00​bd00​00bd​ ​。
     • 再进一步变换为 ( − 1 ) ( − 1 ) 2 ∣ a b 0 0 c d 0 0 0 0 a b 0 0 c d ∣ (-1)(-1)^{2}\begin{vmatrix}a&b&0&0\\c&d&0&0\\0&0&a&b\\0&0&c&d\end{vmatrix} (−1)(−1)2 ​ac00​bd00​00ac​00bd​ ​，最终结果为$(ad-bc{)}^2$。
   • 副对角的理解
     • 对于 ∣ O A B O ∣   = ( − 1 ) m n ∣ A O O B ∣ \begin{vmatrix}O&A\\B&O\end{vmatrix}\ =(-1)^{mn}\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix} ​OB​AO​ ​ =(−1)mn ​AO​OB​ ​，以三阶矩阵$A$，二阶矩阵$B$为例，逐步推导其行列式的计算过程。
       - ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 21 b 22 ∣   = ( − 1 ) 2 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 21 b 22 ∣ \begin{vmatrix}&&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\&&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\&&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}\ =(-1)^{2}\begin{vmatrix}a_{11}&&&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&&&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&&&a_{32}&a_{33}\\&b_{11}&b_{12}\\&b_{21}&b_{22}\end{vmatrix} ​b11​b21​​b12​b22​​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​ =(−1)2 ​a11​a21​a31​​b11​b21​​b12​b22​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​
       -   = ( − 1 ) 2 ( − 1 ) 2 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 21 b 22 ∣   = ( − 1 ) 2 ( − 1 ) 2 ( − 1 ) 2 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 21 b 22 ∣ \ =(-1)^{2}(-1)^{2}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&&&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&&&a_{33}\\&&b_{11}&b_{12}\\&&b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}\ =(-1)^{2}(-1)^{2}(-1)^{2}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\&&&b_{11}&b_{12}\\&&&b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}  =(−1)2(−1)2 ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​b11​b21​​b12​b22​​a13​a23​a33​​ ​ =(−1)2(−1)2(−1)2 ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​b11​b21​​b12​b22​​ ​
4. 加边法
   • 逆用展开定理
     • 对于行列式 ∣ 1 + a 1 1 1 1 2 2 + a 2 2 2 3 3 3 + a 3 3 4 4 4 4 + a 4 ∣ \begin{vmatrix}1 + a_1&1&1&1\\2&2 + a_2&2&2\\3&3&3 + a_3&3\\4&4&4&4 + a_4\end{vmatrix} ​1+a1​234​12+a2​34​123+a3​4​1234+a4​​ ​，先加边得到 ∣ 1 0 0 0 0 1 1 + a 1 1 1 1 2 2 2 + a 2 2 2 3 3 3 3 + a 3 3 4 4 4 4 4 + a 4 ∣ \begin{vmatrix}1&0&0&0&0\\1&1 + a_1&1&1&1\\2&2&2 + a_2&2&2\\3&3&3&3 + a_3&3\\4&4&4&4&4 + a_4\end{vmatrix} ​11234​01+a1​234​012+a2​34​0123+a3​4​01234+a4​​ ​。
     • 再通过初等变换化为 ∣ 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1& - 1& - 1& - 1& - 1\\1&a_1\\2&&a_2\\3&&&a_3\\4&&&&a_4\end{vmatrix} ​11234​−1a1​​−1a2​​−1a3​​−1a4​​ ​，继续变换为 ∣ 1 + 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 + 4 a 4 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 ∣ \begin{vmatrix}1+\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{4}{a_4}\\&1&a_1\\&2&a_2\\&3&a_3\\&4&a_4\end{vmatrix} ​1+a1​1​+a2​2​+a3​3​+a4​4​​1234​a1​a2​a3​a4​​ ​。
     • 结果为$\left(1+\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{4}{a_4}\right)a_1{a}_2{a}_3{a}_4$。
   • 课后习题8.(5)改编
     • 对于行列式 D n   = ∣ b 1 + a 1 a 1 ⋯ a 1 a 2 b 2 + a 2 ⋯ a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n a n ⋯ b n + a n ∣ D_n\ =\begin{vmatrix}b_1 + a_1&a_1&\cdots&a_1\\a_2&b_2 + a_2&\cdots&a_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n&a_n&\cdots&b_n + a_n\end{vmatrix} Dn​ = ​b1​+a1​a2​⋮an​​a1​b2​+a2​⋮an​​⋯⋯⋱⋯​a1​a2​⋮bn​+an​​ ​，加边得到 ∣ 1 0 0 ⋯ 0 a 1 b 1 + a 1 a 1 ⋯ a 1 a 2 a 2 b 2 + a 2 ⋯ a 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n a n a n ⋯ b n + a n ∣ \begin{vmatrix}1&0&0&\cdots&0\\a_1&b_1 + a_1&a_1&\cdots&a_1\\a_2&a_2&b_2 + a_2&\cdots&a_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n&a_n&a_n&\cdots&b_n + a_n\end{vmatrix} ​1a1​a2​⋮an​​0b1​+a1​a2​⋮an​​0a1​b2​+a2​⋮an​​⋯⋯⋯⋱⋯​0a1​a2​⋮bn​+an​​ ​。
     • 然后化为 ∣ 1 − 1 − 1 ⋯ − 1 a 1 b 1 a 2 b 2 ⋮ ⋮ a n b n ∣ \begin{vmatrix}1& - 1& - 1&\cdots& - 1\\a_1&b_1\\a_2&b_2\\\vdots&\vdots\\a_n&b_n\end{vmatrix} ​1a1​a2​⋮an​​−1b1​b2​⋮bn​​−1⋯−1 ​，进一步化为 ∣ 1 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n 0 0 ⋯ 0 a 1 b 1 a 2 b 2 ⋮ ⋮ a n b n ∣ \begin{vmatrix}1+\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}&0&0&\cdots&0\\a_1&b_1\\a_2&b_2\\\vdots&\vdots\\a_n&b_n\end{vmatrix} ​1+b1​a1​​+b2​a2​​+⋯+bn​an​​a1​a2​⋮an​​0b1​b2​⋮bn​​0⋯0 ​。
     • 结果为$\left(1+\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n}{b_n}\right)b_1{b}_2\cdots b_n$。
5. 么型行列式
   • 对于行列式 ∣ 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 1 1 1 ∣ \begin{vmatrix}1&2&0&0\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\1&1&1&1\end{vmatrix} ​1001​2101​0211​0021​ ​，将其按某一行（列）展开，得到 ∣ 1 2 0 0 1 2 1 1 1 ∣ + ∣ 2 2 1 2 ∣ \begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&2\\1&2\end{vmatrix} ​101​211​021​ ​+ ​21​22​ ​。
   • 分别计算两个行列式的值，$(1\times 1\times 1+4+0)-(2)-8=-5$。
6. 川型行列式
   • 对于行列式 ∣ 5 3 0 0 2 5 3 0 0 2 5 3 0 0 2 5 ∣ \begin{vmatrix}5&3&0&0\\2&5&3&0\\0&2&5&3\\0&0&2&5\end{vmatrix} ​5200​3520​0352​0035​ ​，按第一行展开：
     - 5 × ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 5 3 0 2 5 3 0 2 5 ∣ + 3 × ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 2 3 0 0 5 3 0 5 2 ∣ + 3 × ( − 1 ) 1 + 2 + 2 × ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 5 3 2 5 ∣ 5\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}5&3&0\\2&5&3\\0&2&5\end{vmatrix}+3\times(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}2&3&0\\0&5&3\\0&5&2\end{vmatrix}+3\times(-1)^{1 + 2}+2\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}5&3\\2&5\end{vmatrix} 5×(−1)1+1 ​520​352​035​ ​+3×(−1)1+2 ​200​355​032​ ​+3×(−1)1+2+2×(−1)1+1 ​52​35​ ​
7. 范德蒙德行列式
   • 对于范德蒙德行列式 V n   = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣   = ∏ n ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j )   = ∏ ( 后面的项 − 前面的项 ) V_{n}\ =\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&\cdots&x_{n}^{2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{1}^{n - 1}&x_{2}^{n - 1}&\cdots&x_{n}^{n - 1}\end{vmatrix}\ =\prod_{n\geq i>j\geq1}(x_{i}-x_{j})\ =\prod(后面的项 - 前面的项) Vn​ = ​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​⋯⋯⋯⋱⋯​1xn​xn2​⋮xnn−1​​ ​ =∏n≥i>j≥1​(xi​−xj​) =∏(后面的项−前面的项)，展开形式如$(x_n-x_{n-1})$，$(x_n-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-2})$，$\cdots$，$(x_n-x_1)(x_{n-1}-x_1)\cdots (x_2-x_1)$。
   • 对于行列式 ∣ b + c a + c a + b a b c a 2 b 2 c 2 ∣ \begin{vmatrix}b + c&a + c&a + b\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix} ​b+caa2​a+cbb2​a+bcc2​ ​，先将第一行化为$a+b+c$的形式，即 ∣ a + b + c a + b + c a + b + c a b c a 2 b 2 c 2 ∣ \begin{vmatrix}a + b + c&a + b + c&a + b + c\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix} ​a+b+caa2​a+b+cbb2​a+b+ccc2​ ​。
   • 提出公因子$(a+b+c)$得到 ( a + b + c ) ∣ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ∣ (a + b + c)\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix} (a+b+c) ​1aa2​1bb2​1cc2​ ​，最终结果为$(a+b+c)(c-b)(c-a)(b-a)$。

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