FWT快速沃尔什变换

处理位运算类卷积，板子很简单，就是需要记住正变换和逆变换的参数

来看一道异或的例题

给一堆数，他们两两异或，能得到的不同值有多少种？这个数据量，用常规思路根本没法做的。

但是卷积是一个很神奇的东西，你把他变换到值域上再做，复杂度就能神奇地降到$nlogn$了，具体证明很复杂，可以去看oiwiki。

然后这里的具体做法就是先把元素弄到值域上，就是映射到$cnt$数组，然后变换到值域上，卷积，再逆变换回来。中间那个$a_i=a_i\ast a_i$就是自己和自己卷积.正变换的参数是1，逆变换的参数是$1/2$，当然这里都是模意义下的，需要逆元

最后得到的数组中，$a_i$表示异或值为$i$的方案数。我们只要看这这个数组有多少个非零位置，就是异或得到的不同值的个数了。

如果求的是异或得到$i$的方案数，那么就是$a_i$

void XorFWT(vector &a, ll type,int P) {
    int n = a.size();
    for (ll x = 2; x <= n; x <<= 1) {
        ll k = x >> 1;
        for (ll i = 0; i < n; i += x) {
            for (ll j = 0; j < k; j++) {
                (a[i + j] += a[i + j + k]) %= P;
                (a[i + j + k] = a[i + j] - a[i + j + k] * 2) %= P;
                (a[i + j] *= type) %= P;
                (a[i + j + k] *= type) %= P;
            }
        }
    }
}
void solve(){
	cin>>n;
	int mx=1<<20;
	vi a(mx);
	rep(i,1,n){
		int x;
		cin>>x;
		a[x]=1;
	}
	XorFWT(a,1,M2);
	rep(i,0,mx-1){
		a[i]=a[i]*a[i]%M2;
	}
	XorFWT(a,(M2+1)/2,M2);
	int ans=0;
	rep(i,0,mx-1){
		ans+=a[i]>0;
	}
	cout<

如果是按位与和按位或，更换一下变换的函数即可，正变换参数仍然是1，逆变换参数是-1

附上按位与和按位或的变换板子，其实就是oiwiki的稍微改了改，oiwiki这个板子难得的写的很好，居然封装好了

//异或 正1逆1/2
void Xor(vector&a, ll type,int P) {
  for (ll x = 2; x <= n; x <<= 1) {
    ll k = x >> 1;
    for (ll i = 0; i < n; i += x) {
      for (ll j = 0; j < k; j++) {
        (a[i + j] += a[i + j + k]) %= P;
        (a[i + j + k] = a[i + j] - a[i + j + k] * 2) %= P;
        (a[i + j] *= type) %= P;
        (a[i + j + k] *= type) %= P;
      }
    }
  }
}
//与 正1逆-1
void And(vector&a, ll type,ll P) {
  for (ll x = 2; x <= n; x <<= 1) {
    ll k = x >> 1;
    for (ll i = 0; i < n; i += x) {
      for (ll j = 0; j < k; j++) {
        (a[i + j] += a[i + j + k] * type) %= P;
      }
    }
  }
}
//或 正1逆-1
void Or(vector&a, ll type,ll P) {  // 迭代实现，常数更小
  for (ll x = 2; x <= n; x <<= 1) {
    ll k = x >> 1;
    for (ll i = 0; i < n; i += x) {
      for (ll j = 0; j < k; j++) {
        (a[i + j + k] += a[i + j] * type) %= P;
      }
    }
  }
}