Hu矩的原理及应用
什么是Hu矩
Hu矩是一种描述图像形状特征的数学工具，核心思想：提取图像的形状信息，并对这些信息进行归一化，使得它们对图像的平移、旋转和缩放具有不变性。简单说，Hu矩就是一串数字，这串数字可以唯一的描述图像的形状特征，而且不管图像怎么移动、旋转和缩放，这组数字都不变。
Hu矩的原理
1，几何矩：图像的像素值的加权和，可以用来描述图像的形状。如：零阶矩（面积）：图像中所有像素值的总和；一阶矩（质心）：图像的重心位置；二阶矩（方向）：图像的伸展方向。
2，归一化中心矩：为了消除平移和缩放的影响，几何矩会被归一化，变成中心矩。
3，Hu矩：基于归一化的中心矩的7个不变组合，这7个矩对图像的平移、旋转和缩放都具有不变性。
Hu矩的公式
1. 原始矩（Spatial Moments）
原始矩是图像中各个像素值的加权和。对于二维图像 f(x,y)f(x, y)f(x,y)，它的原始矩 mpqm_{pq}mpq 可以通过以下公式计算：
mpq=∑x∑yxpyqf(x,y)m_{pq} = \sum_x \sum_y x^p y^q f(x, y)mpq=x∑y∑xpyqf(x,y)
其中：
- m00m_{00}m00 是图像的零阶矩，代表图像的总质量（像素总和），即： m00=∑x∑yf(x,y)m_{00} = \sum_x \sum_y f(x, y)m00=x∑y∑f(x,y)
- m10m_{10}m10 和 m01m_{01}m01 是图像的质心（中心位置），分别表示图像的水平和垂直质心位置。
2. 中心矩（Central Moments）
为了消除图像的平移影响，使用中心矩来表示图像的特征。中心矩 μpq\mu_{pq}μpq 通过以下公式计算：
μpq=∑x∑y(x−xˉ)p(y−yˉ)qf(x,y)\mu_{pq} = \sum_x \sum_y (x - \bar{x})^p (y - \bar{y})^q f(x, y)μpq=x∑y∑(x−xˉ)p(y−yˉ)qf(x,y)
其中 xˉ\bar{x}xˉ 和 yˉ\bar{y}yˉ 是图像的质心坐标，定义为：
xˉ=m10m00,yˉ=m01m00\bar{x} = \frac{m_{10}}{m_{00}}, \quad \bar{y} = \frac{m_{01}}{m_{00}}xˉ=m00m10,yˉ=m00m01
3. 标准化中心矩（Normalized Central Moments）
为了消除尺度影响，使用标准化的中心矩来表示图像的特征，标准化中心矩 ηpq\eta_{pq}ηpq 通过以下公式计算：
ηpq=μpqm001+p+q2\eta_{pq} = \frac{\mu_{pq}}{m_{00}^{1 + \frac{p+q}{2}}}ηpq=m001+2p+qμpq
4. Hu矩公式
Hu矩是基于标准化中心矩的组合，通常有7个不变矩。Hu在1959年提出了以下7个不变矩，作为对图像形状的描述：
η1=η20+η02\eta_1 = \eta_{20} + \eta_{02}η1=η20+η02
η2=(η20−η02)2+4η112\eta_2 = (\eta_{20} - \eta_{02})^2 + 4\eta_{11}^2η2=(η20−η02)2+4η112
η3=(η30−3η12)2+(3η21−η03)2\eta_3 = (\eta_{30} - 3\eta_{12})^2 + (3\eta_{21} - \eta_{03})^2η3=(η30−3η12)2+(3η21−η03)2
η4=(η30+η12)2+(η21+η03)2\eta_4 = (\eta_{30} + \eta_{12})^2 + (\eta_{21} + \eta_{03})^2η4=(η30+η12)2+(η21+η03)2
η5=(η30−3η12)(η30+η12)[(η21+η03)2−(η21−η03)2]\eta_5 = (\eta_{30} - 3\eta_{12}) (\eta_{30} + \eta_{12}) \left[ (\eta_{21} + \eta_{03})^2 - (\eta_{21} - \eta_{03})^2 \right]η5=(η30−3η12)(η30+η12)[(η21+η03)2−(η21−η03)2]
η6=(η20−η02)[(η30+η12)2−(η21+η03)2]\eta_6 = (\eta_{20} - \eta_{02}) \left[ (\eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{21} + \eta_{03})^2 \right]η6=(η20−η02)[(η30+η12)2−(η21+η03)2]
η7=(3η21−η03)(η30+η12)[(η21+η03)2−(η21−η03)2]\eta_7 = (3\eta_{21} - \eta_{03}) (\eta_{30} + \eta_{12}) \left[ (\eta_{21} + \eta_{03})^2 - (\eta_{21} - \eta_{03})^2 \right]η7=(3η21−η03)(η30+η12)[(η21+η03)2−(η21−η03)2]
这些7个Hu矩提供了一个不变特征集，可以用于图像的匹配、分类等应用，且对平移、旋转和尺度具有不变性。
Hu矩的应用场景
1，图像识别：如手写数字、字母、符号等，通过Hu矩，可以提取图像的关键形状特征，然后与数据库中的特征进行匹配；
2，目标检测和跟踪：检测视屏中的某个目标，通过Hu矩描述目标的形状，来进行跟踪；
3，形状匹配：医学图像中，器官的形状；工业检测中，匹配零件的形状是否符合标准；
4，图像分类：根据
Hu矩的优缺点
优：
1，不变性：对图像的平移、旋转和缩放具有不变性，使得它在很多实际应用中非常有用；
2，简单高效：Hu矩的计算相对简单，计算速度快，适合实时处理；
3，形状描述能力强：Hu矩能很好地描述图像的全局形状特征；
缺：
1，对噪声敏感：如果图像有噪声，Hu矩的计算结果可能受到影响；
2，局部特征不足：Hu矩主要描述图像的全局形状特征，无法捕捉图像的局部细节；
3，对形状敏感：若发生拉伸、扭曲等，Hu矩的不变性可能会失效；
4，特征维度低：Hu矩只有7个特征值，对于复杂的形状描述可能不够；
总结
1，Hu矩是一种用于描述图像形状特征的工具，具有平移、旋转和缩放不变性；
2，它适用于图像识别、目标跟踪、形状匹配等场景；
3，优点：简单高效、不变性强，缺点：对噪声和形变敏感，且无法描述局部细节；
代码
#include
#include
int main() {
// 读取图像
cv::Mat image = cv::imread("shape.png", cv::IMREAD_GRAYSCALE);
if (image.empty()) {
std::cerr << "Error: Could not load image!" << std::endl;
return -1;
}
// 二值化图像（可选）
cv::Mat binary;
cv::threshold(image, binary, 128, 255, cv::THRESH_BINARY);
// 计算图像的矩
cv::Moments m = cv::moments(binary, true);
// 计算 Hu矩
cv::Mat huMoments;
cv::HuMoments(m, huMoments);
// 输出 Hu矩
std::cout << "Hu Moments: \n";
for (int i = 0; i < huMoments.rows; i++) {
std::cout << huMoments.at(i) << std::endl;
}
return 0;
}