快速幂（竞赛必备）

一、概念：

快速幂是一种高效的指数运算方法，通过指数折半或二进制位运算减少计算次数。它的核心思想是利用二进制表示法或指数折半来加速计算，从而避免大量的循环操作。

二、学习路径：

1. 了解基本概念
2. 掌握暴力解法、快速幂（二进制）、快速幂（指数折半）
3. 快速幂于库函数中pow()的区别。
4. 进行如下题目练习，以达到掌握目的：
5. 数的次幂（基础）-> 小数第n位（进阶）->  堆的计数（综合）-> 乘法逆元（拓展）

三、用法：

快速幂可有多种方法实现，最主要的两种是，二进制、指数折半方法实现。

1、BF暴力解法：

谈到算法的起源与优化，首先就要想到他们的原身-暴力解法，这是根，亦是魅力。

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
#define ll long long

ll Pow(int base, int exponent){
    int result = 1;
    for(int i = 0; i

一招遍历走天下。

但是如果是1万次方，真的要循环1万次吗？虽然可行，但极度浪费运算时间。

于是提出了二进制法，将指数转化为二进制，通过位运算进行计算-大神解释。

2、快速幂 二进制

相信根据大神解释，已经了解基本运作类型，以下为代码：

1、速记、背诵版：

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
#define ll long long
ll Pow(int base,int exponent){ // base基数、exponent指数
    ll result = 1;
    // 位运算
    while(exponent>0){
        if(exponent&1)  // exponent与最低位进行运算
            result *= base;
        base *= base;
        exponent>>=1; // 右移一位
    }
    return result;
}
int main(){
    // 如何求快速幂，对指数进行取余，
    ll num = Pow(2,4);
    cout<

2、详细解释版：

// 包含一个非标准的头文件，它整合了几乎所有标准库的头文件
// 在竞赛等场景使用较为方便，但在正式项目中不推荐，因为会增加编译时间
#include "bits/stdc++.h"
// 使用标准命名空间 std，这样在后续代码中使用标准库的类和函数时无需加 std:: 前缀
using namespace std;
// 定义一个宏，将 ll 作为 long long 类型的别名
// 后续代码中使用 ll 就相当于使用 long long，简化代码书写
#define ll long long
// 定义一个函数 Pow，用于计算 base 的 exponent 次幂
// base 是底数，即要进行乘方运算的数
// exponent 是指数，即表示乘方的次数
ll Pow(int base, int exponent) {
    // 初始化一个 long long 类型的变量 result 为 1
    // 因为任何数的 0 次幂为 1，后续通过累乘来得到最终的幂结果
    ll result = 1;
    // 开始一个 while 循环，只要指数 exponent 大于 0 就继续循环
    // 该循环是实现快速幂算法的核心部分
    while (exponent > 0) {
        // 使用按位与运算符 & 来判断 exponent 的二进制表示的最低位是否为 1
        // 如果 exponent 的最低位是 1，那么 exponent & 1 的结果为 1，条件成立
        // 例如，若 exponent 为 5（二进制 101），101 & 001 的结果为 1
        if (exponent & 1) {
            // 当 exponent 的最低位为 1 时，说明当前这一位对应的 2 的幂次需要参与结果的计算
            // 将当前的 base 乘到结果 result 中
            result *= base;
        }
        // 将 base 进行平方操作
        // 例如，第一次循环时 base 是原始值，第二次循环时 base 变为 base^2，第三次循环时 base 变为 base^4，以此类推
        base *= base;
        // 将 exponent 右移一位，相当于将 exponent 除以 2
        // 右移操作在二进制层面上把所有位向右移动一位，最右边的位被丢弃，左边补 0
        // 例如，若 exponent 为 5（二进制 101），右移一位后变为 2（二进制 10）
        exponent >>= 1;
    }
    // 当 exponent 变为 0 时，循环结束，此时 result 即为 base 的 exponent 次幂的结果，将其返回
    return result;
}
// 主函数，程序的入口点，程序从这里开始执行
int main() {
    // 调用 Pow 函数计算 2 的 4 次幂，并将结果存储在 long long 类型的变量 num 中
    ll num = Pow(2, 4);
    // 使用 cout 输出计算得到的结果 num，并换行
    // cout 是标准输出流对象，用于向控制台输出信息
    cout << num << endl;
    // 主函数返回 0，表示程序正常结束
    // 在 C++ 中，主函数返回 0 通常表示程序成功执行完毕
    return 0;
}

快速幂演变至今，不可能只有这么一种方法，接下来介绍另一种方法快速幂-指数折半-大神解释

3、快速幂 指数折半

相信根据大神解释，已经了解基本运作类型，以下为代码：

1、速记、背诵版本：

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
#define ll long long

ll Pow(int base, int exponent){
    ll result = 1;
    while(exponent>0){
        // 分奇、偶
        if(exponent%2==1){// 奇数
            exponent -= 1;
            exponent /= 2;
            result *= base;
            base *= base;
        }else{ // 偶数
            exponent = exponent/2;
            base *= base;
        }
    }
    return result;
}

int main(){
    // 如何求快速幂，对指数进行取余，
    ll num = Pow(2,4);
    cout<

2、详细解释版：

// 包含几乎所有标准库的头文件，在竞赛等场景中方便使用各种标准库功能
#include "bits/stdc++.h"
// 使用标准命名空间，这样在代码中使用标准库的类和函数时可以省略 std:: 前缀
using namespace std;
// 定义一个宏，将 ll 作为 long long 类型的别名，方便后续使用长整型
#define ll long long
// 定义一个函数 Pow，用于计算 base 的 exponent 次幂
// base 是底数，即要进行乘方运算的数
// exponent 是指数，即表示乘方的次数
ll Pow(int base, int exponent){
    // 初始化结果变量 result 为 1，因为任何数的 0 次幂为 1，后续用于累乘得到最终结果
    ll result = 1;
    // 当指数 exponent 大于 0 时，继续循环进行幂运算
    while(exponent>0){
        // 根据指数的奇偶性进行不同处理
        // 分奇、偶
        if(exponent%2==1){// 奇数
            // 若指数为奇数，先将指数减 1 变为偶数
            exponent -= 1;
            // 再将指数除以 2
            exponent /= 2;
            // 由于当前指数为奇数，此时需要将当前的 base 乘到结果 result 中
            result *= base;
            // 将 base 平方，为下一次计算做准备，相当于让 base 的幂次翻倍
            base *= base;
        }else{ // 偶数
            // 若指数为偶数，直接将指数除以 2
            exponent = exponent/2;
            // 将 base 平方，为下一次计算做准备，相当于让 base 的幂次翻倍
            base *= base;
        }
    }
    // 循环结束后，result 即为 base 的 exponent 次幂的结果，将其返回
    return result;
}
// 主函数，程序的入口点
int main(){
    // 调用 Pow 函数计算 2 的 4 次幂，并将结果存储在变量 num 中
    // 如何求快速幂，对指数进行取余，
    ll num = Pow(2,4);
    // 输出计算得到的结果
    cout<

 4、竞赛

要知道，直接调用标准库函数，代码简洁。也就是 cmath 中的 pow()。

但是 pow() 存在两个缺点

1. pow() 函数的实现通常涉及对数和指数的计算，时间复杂度较高，不适合处理大指数的幂运算。
2. 浮点数运算可能会引入精度误差。

所以不推荐使用cmath中的pow()。而推荐使用cmath。

四、练习：

1、数的幂次

题目描述

给定三个正整数 N,M,PN,M,P，求 NMmodpNMmodp。

输入描述

第 11 行为一个整数 TT，表示测试数据数量。

接下来的 TT 行每行包含三个正整数 N,M,PN,M,P。

1≤T≤1051≤T≤105，1≤N,M,P≤1091≤N,M,P≤109。

输出描述

输出共 TT 行，每行包含一个整数，表示答案。

输入输出样例

示例 1

输入

3
2 3 7
4 5 6
5 2 9

 

输出

1
4
7

#include 
#define ll long long // 必须要开到long long，否则会报错
using namespace std;
ll quick(ll n, ll m, ll p){
  ll res = 1;
    while(m){
      if(m&1ll) res=(res*n)%p; // 1ll 也可以写成1,1ll代表为long long
      n=(n*n)%p;
      m>>=1;
    }
  return res;
}
int main()
{
  int t;
  cin>>t;
  while(t--){
    ll n,m,p;
    cin>>n>>m>>p;
    cout<

 

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2、小数第n位

题目描述

我们知道，整数做除法时，有时得到有限小数，有时得到无限循环小数。

如果我们把有限小数的末尾加上无限多个 0，它们就有了统一的形式。

本题的任务是：在上面的约定下，求整数除法小数点后的第 nn 位开始的 3 位数。

输入描述

输入一行三个整数：a b na b n，用空格分开。aa 是被除数，bb 是除数，nn 是所求的小数后位置（0

输出描述

输出一行 3 位数字，表示：aa 除以 bb，小数后第 nn 位开始的 3 位数字。

输入输出样例

示例

输入

1 8 1

 

输出

125

思路：

本题的主要思路是，通过乘10，把小数一个接一个的拉上来。并通过取模削减数字，防止溢出。

最重要的是，取模对本题中的除法运算没影响。

#include "bits/stdc++.h"
#define ll long long
using namespace std;

// getNum 通过快速幂-二进制
ll getNum(ll a, ll b, ll p){  // a底数，b指数，p除数
  ll res = 1;
  while(b){ // b是位数
    if(b&1) res=(res*a)%p; 
    // a*=(a%p); -> 这样是错的，会导致快速幂出错
    a = a*a%p; 
    b>>=1; // 右移一位
  }
  return res;
}
int main()
{
  // 输入数字
  ll a,b,n;
  cin>>a>>b>>n; // a是除数、b是被除数、n是位数

  // 进入这一步之前，有一点需要理清，取余不影响小数计算结果。
  a = a*getNum(10,n-1,b); // 获得第n位的前一位。
  a = a%b; 

// 第二核心
  for(int i=0; i<3; ++i){ // 取3位
    a*=10;
    cout<

 

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3、堆的计数 

好遗憾，这道题笔者咱无法解答，待后续有能力之后，在解决。

本题涉及了（组合数、费马小定理、逆元、阶乘、动态规划...），后续解决在给出答案

d堆的计数

 

 

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笔者感悟：

在这么整理多篇算法博客的途中，我发现算法难，大多时候不是因为你不会这道题，而是因为读不懂答案！我准备用带入法测试（普通题目：取一个数字测试。递归：画图法），后续博客发表测试效果。

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借鉴博客/网站：

1、蓝桥官网

2、快速幂算法 超详细教程

3、费马小定理证明（博主简直是个天才）

4、ACM数论之旅6---数论倒数，又称逆元（我整个人都倒了(￣﹏￣)）

5、乘法逆元的作用（逆元的作用是什么）

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