1.python实现二分查找（力扣刷题）

二分查找（Binary Search），也称为折半查找，是一种高效的查找算法，适用于在有序数组中查找特定元素。其基本思想是通过将查找范围逐步减半来快速定位目标值。

题目

力扣704题 二分查找
力扣35题 搜索插入位置
力扣34题 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
力扣69题 x的平方根
力扣367题 有效的完全平方数

1.力扣704题 二分查找

题目

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

代码

第一种方法：遍历数组，找出对应的下标

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        for i in range(len(nums)):
            if nums[i] == target:
                return i
        return -1

第二种方法：二分查找

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left = 0
        right = len(nums)-1 # 定义左右区间
        while left <= right:
            middle = left + (right - left) //2 # 计算中间值的下标

            if nums[middle] > target:
                right = middle - 1 # 当需要找的值小于中间值时，将right改为中间值左侧值的下标
            elif nums[middle] < target:
                left = middle + 1 # 当需要找的值大于中间值时，将left改为中间值右侧值的下标
            else:
                return middle # 找到目标值，返回对应的下标
        return -1 # 目标值 不存在，返回-1

解释

对于二分查找的方法，寻找一个有序数组中的目标值的下标，基本思想为：
首先，设立一个left和right，记录最左侧值的最右侧值的下标。
然后，在一个while循环中计比较中间值和需要找的目标值的大小，判断需要找的值在中间值的左侧还是右侧，然后根据结果修改left或right的值，如果找到目标值，则返回对应的下标。

2.力扣35题 搜索插入位置

题目

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
-104 <= target <= 104

代码

# 使用二分法进行查找
class Solution:
    def searchInsert(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left = 0 
        right = len(nums)-1
        while left <= right:
            middle = left + (right - left)//2
            if nums[middle] < target:
                left = middle + 1
            elif nums[middle] > target:
                right = middle - 1
            else:
                return middle
        #当target的值不在num中是分析目标值插入的位置
        for i in range(len(nums)): 
            if nums[i] > target:
                return i # 返回比目标值大的值的下标
        return len(nums) # 如果所有的值都比target小，则返回nums的长度，即应该放到数组的最后
        

代码2

class Solution:
    def searchInsert(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left = 0 
        right = len(nums)-1
        while left <= right:
            middle = left + (right - left)//2
            if nums[middle] < target:
                left = middle + 1
            elif nums[middle] > target:
                right = middle - 1
            else:
                return middle
        return right + 1

第二段代码与第一段相同，当target的值不在数组中时，while的最后一次循环返回的right对应的值为小于target的最大的值，因此返回right + 1 即为target需要插入的位置。相对来说第一个代码更好理解，但第二段更简洁。

3.力扣34题 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109

代码

class Solution:
    def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
    	# 寻找左边界
        def searchleftRange(nums: List[int], target: int) -> int:
            left = 0 
            right = len(nums) - 1
            while left <= right:
                middle = left + (right - left)//2
                if nums[middle] < target: # 中间的值小于target，将left移到中间值的右侧
                    left = middle + 1
                else: # 中间值大于或等于target时，将right移到中间值的左侧
                    right = middle - 1
            return left
        
        # 寻找右边界
        def searchrightRange(nums: List[int], target: int) -> int:
            left = 0 
            right = len(nums) - 1
            while left <= right:
                middle = left + (right - left)//2
                if nums[middle] > target: # 中间值大于target时，将right移到中间值的左侧
                    right = middle - 1
                else: # 中间值小于或等于target时，将left移到中间值的右侧
                    left = middle + 1
            return right

        leftrange = searchleftRange(nums, target)
        rightrange = searchrightRange(nums, target)
        
        # # 检查找到的位置是否有效
        if leftrange <= rightrange and leftrange < len(nums) and nums[leftrange] == target:
            return [leftrange, rightrange]
        return [-1, -1]
                          

分析

本题的关键是通过两次二分法分别寻找左边界和右边界
注意判断条件，寻找左边界时当中间的值小于target时，将left移到中间值的右侧，最后循环结束时left的值即为左边界的值，寻找右边界时当中间值大于target时，将right移到中间值的左侧，这样循环结束时返回的right的值即为右边界的值。
最后判断找到的位置是否有效，在找到边界后，再次确认这些边界是否确实指向了 target，最后数据结果。

4.力扣69题 x的平方根

题目

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= 231 - 1

代码

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x == 0 or x == 1:
            return x
        left, right = 1, x//2
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if mid ** 2 > x: 
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        return left - 1

分析

本题通过二分法寻找x 的 算术平方根，首先当x小于2时，直接返回x， 然后通过二分法找算数平方根。
最初设置的right的值可以为x//2 ,因为一个数的平方跟最大为它中间的数，这样可以节省时间，在循环中当中间数的平方小于等于x时将left幅值为 mid + 1 这样循环结束时left即为比平方根大的最大整数，这样将left减一即为平方根结果。

5.力扣367题 有效的完全平方数

题目

给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

示例 1：

输入：num = 16
输出：true
解释：返回 true ，因为 4 * 4 = 16 且 4 是一个整数。

示例 2：

输入：num = 14
输出：false
解释：返回 false ，因为 3.742 * 3.742 = 14 但 3.742 不是一个整数。

提示：

1 <= num <= 231 - 1

代码

class Solution:
    def isPerfectSquare(self, num: int) -> bool:
        left, right = 1, num
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if mid ** 2 > num: 
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        return (left - 1)**2 == num

分析

与上一个题相似，最后判断是否为整数。

总结

二分查找（Binary Search）是一种非常高效且广泛应用的查找算法。它通过反复将查找范围减半来快速定位目标值，适用于有序数组或列表中的元素查找。

特点

高效性：时间复杂度为 O(log n)，n 是数据集的大小。
适用条件：仅适用于已排序的数据集。
基本原理：每次将查找范围减半，大大减少了查找所需的时间。

步骤

1.初始化边界：设定两个指针 left 和 right 分别指向数组的起始位置和结束位置。
2.循环查找：
计算中间位置 mid = left + (right - left) // 2。
如果 nums[mid] 等于目标值 target，则找到了目标值，返回 mid。
如果 nums[mid] 小于目标值 target，说明目标值位于右侧，调整 left 指针到 mid + 1。
如果 nums[mid] 大于目标值 target，说明目标值位于左侧，调整 right 指针到 mid - 1。

尽管二分查找效率高，但它也有一定的局限性：

需要有序数据：二分查找依赖于数据的有序性，因此在频繁插入和删除操作的数据集中使用它并不高效，因为维护数据的有序性会带来额外的开销。