PCA主成分分析降维算法及其可视化（附完整版代码）

 一. PCA的介绍

PCA（Principal Component Analysis）是一种数据降维技术，旨在将多维指标转换为少数几个综合指标。在统计学中，PCA是简化数据集的一种方法，通过线性变换将数据映射到新的坐标系中。在新的坐标系中，第一主成分捕获数据投影的最大方差，第二主成分捕获第二大方差，依此类推。主成分分析常用于减少数据集的维度，同时保留对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分、忽略高阶主成分实现的，因此通常能够保留数据的关键特征。然而，应用效果会受具体情况影响。

PCA有几个明显的优点：

1.降维效果明显：

PCA可以将高维数据集转换为低维表示，同时尽量保留数据集的重要信息，降低了数据的复杂度。

2.去除冗余信息：

PCA通过保留对方差贡献最大的特征，可以有效地去除数据集中的冗余信息，提高了数据的紧凑性和可解释性。

3.减少计算量：

降低数据维度后，计算量和存储空间也相应减少，有助于提高算法的效率和速度。

4.提高模型性能：

在一些机器学习任务中，使用PCA进行特征选择和降维可以提高模型的性能和泛化能力，减少过拟合的风险。

5.数据可视化：

降维后的数据更容易可视化和理解，有助于发现数据之间的潜在关系和规律。 

二. PCA算法的步骤

PCA的降维步骤可以概括为以下几个关键步骤：

1.数据准备：

首先，需要准备一个包含m个样本和n个特征的数据集，将数据进行标准化处理，确保每个特征的均值为0，方差为1。

2.计算协方差矩阵：

对标准化后的数据集计算协方差矩阵。协方差矩阵描述了数据特征之间的线性关系，是PCA计算的基础。

3.特征值分解：

对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特征值表示数据在特征向量方向上的方差大小，特征向量则表示数据在新的坐标系中的方向。

4.选择主成分：

根据特征值的大小，选择最重要的几个特征向量作为主成分。通常选择特征值较大的前k个特征向量，构成新的特征空间。

5.数据投影：

将原始数据投影到所选的主成分上，得到降维后的数据集。投影的过程就是将数据映射到新的特征空间中，去除掉与主要方差贡献较小的特征。

通过以上步骤，PCA可以实现对高维数据的降维处理，保留了数据的主要特征，同时去除了不必要的冗余信息，有助于提高数据处理和分析的效率。

三. 代码展示

下文展示部分关键代码，完整代码跳转至如下代码最后一行自行获取即可。

% [V,S,E]=princa(X)
%[loading,score,letent]=pca(X)   V-loading S-score letent-E
function [V,S,E,cumE,number]=princa(X,pe)
[m,n]=size(X); %计算矩阵的行m和列n
%-------------第一步：标准化矩阵-----------------%
mv=mean(X); %计算各变量的均值
st=std(X); %计算各变量的标准差
X=(X-repmat(mv,m,1))./repmat(st,m,1); %标准化矩阵X
 
%-------------第二步：计算相关系数矩阵-----------------%
% R1=X'*X/(m-1); %方法一：协方差矩阵计算公式
% R2=cov(X);     %方法二：协方差矩阵计算函数
R=corrcoef(X); %方法三：相关系数矩阵函数
 
%-------------第三步：计算特征向量和特征值-----------------%
[V,D]=eig(R);       %计算矩阵R的特征向量矩阵V和特征值矩阵D,特征值由小到大
V=(rot90(V))';      %将特征向量矩阵V从大到小排序
D=rot90(rot90(D));  %将特征值矩阵由大到小排序
E=diag(D);          %将特征值矩阵转换为特征值向量
 
%-------------第四步：计算贡献率和累计贡献率-----------------%
ratio=0; %累计贡献率
for k=1:n
    r=E(k)/sum(E);   %第k主成份贡献率
    ratio=ratio+r;  %累计贡献率
    if(ratio>=0.9)  %取累计贡献率大于等于90%的主成分
        break;
    end
end
%-------------       ---------------%
sumE=sum(E);
tep=E./sumE;
cumE=cumsum(tep);
temp1=find(cumE>pe);
number=min(temp1);
%-------------第五步：计算得分-----------------%
S=X*V;
% 代码来源： https://mbd.pub/o/bread/mbd-ZpWamJlp

四. Matlab仿真结果展示 

包含：各参数重要性柱状图；降维前数据可视化；PCA特征值数量与累计方差贡献率；降维后数据可视化。