树状数组(二叉索引树)

树状数组(二叉索引树)

• 树状数组的核心思想：分治。将数组以二叉树的逻辑结构进行组织。树状数组巧妙的利用了下标的二进制特性，以维护区间信息。

  树状数组并非一棵真正的二叉树，以二叉树的存储结构进行组织的为线段树。

• $\text{lowbit}$操作：获取整数最低位的1的位置。由于0的$\text{lowbit}$没有意义，因此树状数组下标需从1开始。

int lowbit(int i){
    return i&(-i);
}

• 设序列$a$的长度为$n$，树状数组为$t$并与其等长。对于每个元素$a_i$，其具有管理区间$[i-\text{lowbit}(i)+1,i]$，用于管理其区间信息。如区间之和、可重复贡献性问题(区间最值、区间$\text{GCD}$)等。

$$\begin{gathered} t_1=opt(a_1); \\ {t}_2=opt(t_1,a_2); \\ {t}_3=opt(a_3); \\ {t}_4=opt(t_2,t_3,a_4); \\ {t}_5=opt(a_5); \\ {t}_6=opt(t_5,a_6); \\ {t}_7=opt(a_7); \\ {t}_8=opt(t_4,t_6,t_7,a_8); \\ \dots \end{gathered}$$

区间和

单点修改 区间查询(前缀和版树状数组)

void change(int i,int d);//单点修改
void init(){//初始化树状数组:对所有元素调用单点修改
    for(int i=1;i<=n;i++)
        change(i,a[i]);
}

• 单点修改(向上修改)

以$a[x]+=d$为例：由于管理区间具有前缀性，因此需修改整个树状数组中所有位于$x$之后且包含$x$的管理区间。

void change(int x,int d){//以a[x]+=d为例
    a[x]+=d;
    for(;x<=n;x+=lowbit(i))//向上修改,跳跃到下一个包含x的管理区间,n为原数组长度
        tree[x]+=d;
}

• 区间查询(向下查询)

以查询$[l,r]$区间为例：由于管理区间具有前缀性，因此求解$[l,r]$，需分别求解$[1,l],[1,r]$再相减。对于每个查询端点，需用其之前的若干个管理区间，以拼接成$1$到其的区间。

为什么不能直接从$l$向上查询到$r$？由于管理区间具有前缀性，直接计算会导致$[1,l]$区间信息被重复计算，这对于非可重复贡献性问题是不可接受的(如区间之和、区间之积等)。

int l,r;
int query(int i){//向下查询
    int ans=0;
    for(;i;i-=lowbit(i))//跳跃到上一个管理区间
        ans+=tree[i];
    return ans;
}
//调用:query(r)-query(l-1);

区间修改 单点查询(差分版树状数组)

原理：差分是前缀和的逆运算。仅需将树状数组存储内容修改为差分数组，即可实现区间修改操作。

• 区间修改

void modify(int l,int r,int d){//[l,r]均+d
    update(l,d),update(r+1,-d);
}
//初始化树状数组:传入差分数组
for(int i=1;i<=n;i++) update(i,a[i]-a[i-1]);

• 单点查询：差分数组求前缀和即为原数组，因此调用query函数即可

区间修改+区间查询(二阶树状数组)

标准解法为线段树。

• 区间修改原理：前缀和与差分互为逆运算，$a_k=\sum _{i=1}^k{d}_i$

• 区间查询：$\sum _{i=L}^R{a}_i=\sum _{i=1}^R{a}_i-\sum _{i=1}^{L-1}{a}_i$，因此转换为$\sum _{i=1}^k{a}_i(k\in \{L-1,R\})$问题

考查$\sum _{i=1}^k{a}_i$：$$a_1+a_2+\cdots +a_k=d_1+(d_1+d_2)+\cdots +(d_1+\cdots +d_k)=k\times d_1+(k-1)\times d_2+\cdots +d_k$$

$=k\sum _{i=1}^k{d}_i-\sum _{i=1}^k(i-1)d_i$

因此，维护两个树状数组，分别用于实现$d_i$与$(i-1)d_i$

void update1(int i,int d){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))
        t1[i]+=d;
}
void update2(int i,int num){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))
        t2[i]+=num;
}
int query1(int i){
    int ans=0;
    for(;i;i-=lowbit(i))
        ans+=t1[i];
    return ans;
}
int query2(int i){
    int ans=0;
    for(;i;i-=lowbit(i))
        ans+=t2[i];
    return ans;
}
void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        update1(i,a[i]-a[i-1]);
        update2(i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]));
    }
}

• 区间修改

void modify(int l,int r,int d){
    update1(l,d),update1(r+1,-d);
    update2(l,(l-1)*d),update2(r+1,(r+1-1)*(-d));
}

• 区间查询

int query(int l,int r){
    return (r*query1(r)-query2(r))-((l-1)*query1(l-1)-query2(l-1));
}

区间最值($\mathcal{O}(n\times ({\log }_{2}n{)}^2+q\times ({\log }_{2}n{)}^2)$)

修改树状数组为存储其管理区间内的最值。

单点修改：需将$n$个数初始化到树状数组中，共有${\log }_{2}n$步更新。

区间查询：

• 若$R-L\ge \text{lowbit}(R)$，则$R$管理区间$\subseteq [L,R]$，继续向前递推即可。$\text{max/min}[L,R]=\text{max/min}(\text{max/min}[R-\text{lowbit}(R)+1,R],\text{max/min}[L,R-\text{lowbit}(R)])$;
• 若$R-L<\text{lowbit}(R)$，则$[L,R]\subseteq R$的管理区间，$\exists$元素$\notin [L,R]$。应使用原数组的$a[R]$，再向前递推到$R-1$的管理区间。$\text{max/min}[L,R]=\text{max/min}(a[R],\text{max/min}[L,R-1])$。

求逆序数($O(n{\log }_{2}n)$)

核心思想：将原数组元素视为树状数组的下标。每处理一个元素$x$，树状数组$tree[x]$++。

for(int i=1;i<=n;i++){//正序处理
    change(a[i],1);
    ans+=i-query(a[i]);
}

for(int i=n;i;i--){//逆序处理
    change(a[i],1);
    ans+=query(a[i]-1)；
}