Codeforces 55D. Beautiful numbers （数位DP）

题意：求区间[x , y]中beautiful number的个数，a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits.

分析：一个数能被它的所有非零数位整除，则能被它们的最小公倍数整除，而1到9的最小公倍数为2520，数位DP时我们只需保存前面那些位的最小公倍数就可进行状态转移，到边界时就把所有位的lcm求出了，为了判断这个数能否被它的所有数位整除，我们还需要这个数的值，显然要记录值是不可能的，其实我们只需记录它对2520的模即可，这样我们就可以设计出如下数位DP：dfs(pos,mod,lcm,f),pos为当前位，mod为前面那些位对2520的模，lcm为前面那些数位的最小公倍数，f标记前面那些位是否达到上限，这样一来dp数组就要开到19*2520*2520，明显超内存了，考虑到最小公倍数是离散的，1-2520中可能是最小公倍数的其实只有48个，经过离散化处理后，dp数组的最后一维可以降到48，这样就不会超了。

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#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define N 19

#define MOD 2520

typedef __int64 LL;

int t[200],cnt;

LL dp[N][MOD][48];

int digit[N];

int GCD(int a,int b)

{

    while(a%b)

    {

        int tmp=b;

        b=a%b;

        a=tmp;

    }

    return b;

}

int LCM(int a,int b)

{

    return a/GCD(a,b)*b;

}

int bs(int x)

{

    int mid,min=0,max=cnt;

    while(min+1!=max)

    {

        mid=min+max>>1;

        if(t[mid]>x)    max=mid;

        else    min=mid;

    }

    return min;

}

LL dfs(int pos,int mod,int lcmid,int f)

{

    if(pos==-1) return (mod%t[lcmid])?0:1;

    if(!f&&dp[pos][mod][lcmid]!=-1)   return dp[pos][mod][lcmid];

    int max=f?digit[pos]:9;

    LL ret=0;

    for(int i=0;i<=max;i++)

    {

        int nmod=(mod*10+i)%MOD;

        int nlcmid=lcmid;

        if(i)   nlcmid=bs(LCM(t[lcmid],i));

        ret+=dfs(pos-1,nmod,nlcmid,f&&i==max);

    }

    if(!f)  dp[pos][mod][lcmid]=ret;

    return ret;

}

LL cal(LL x)

{

    int pos=0;

    while(x)

    {

        digit[pos++]=x%10;

        x/=10;

    }

    return dfs(pos-1,0,0,1);

}

void init()

{

    cnt=0;

    for(int i=1;i<=MOD;i++)

    {

        if(MOD%i==0)    t[cnt++]=i;

    }

    memset(dp,-1,sizeof(dp));

}

int main()

{

    int t;

    init();

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        LL x,y;

        scanf("%I64d%I64d",&x,&y);

        printf("%I64d\n",cal(y)-cal(x-1));

    }

    return 0;

}