线性代数笔记十——四个基本子空间

4个基本子空间由以下组成:

  • 列空间: C ( A ) C(A) C(A) R m m R^mm Rmm维空间
  • 零空间: N ( A ) N(A) N(A) R n n R^nn Rnn维空间
  • 行空间: C ( A T ) A C(A^T)A C(AT)A的行的所有组合,在 R n ​ R^n​ Rn
  • 左零空间: N ( A T ) A N(A^T)A N(AT)A转置的零空间,在 R m R^m Rm

基:从基出发构建 R n R^n Rn R m R^m Rm

C ( A ) C(A) C(A) N ( A ) N(A) N(A) C ( A T ) C(A^T) C(AT) N ( A T ) N(A^T) N(AT)
主列 一组特殊解, n − r n-r nr
维数 r r r n − r n-r nr

n n n维空间中存在2个维数,一个是 r r r维的__子空间(行空间),另一个是 n − r n-r nr维的__零空间

m m m维空间中存在2个维数,一个是 r r r维__子空间(列空间),另一个是 m − r m-r mr维的__左零空间

C ( R ⏟ 行最简 ) ≠ C ( A ) C(\underbrace{R}_{行最简})\neq C(A) C(行最简 R)=C(A)

一组基,对于 A A A还是 R R R来说都是行最简形, R R R的前 r r r行(秩个数),不是 A A A的前 r r r

[ − 1 2 0 1 − 1 0 − 1 0 1 ] ⏟ E [ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ] ⏟ A = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ] ⏟ R \underbrace{\begin{bmatrix}-1&2&0\\1&-1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}_{E} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}_{R} E 111210001 A 111212323111 =R 100010110100

怎样的线性组合使 A A A的行向量结果为0。

  • 例如求矩阵的__左零空间__,就试着寻找一个产生__零行向量__的__行组合__
  • 假使求矩阵的__零空间__,找一个产生__零列向量__的__列组合__

A A A的各行都是行基的线性组合,为什么此基的生成空间是行空间?

  • 行空间在行最简形式 R ​ R​ R中以最佳形式表现出来

N ( A T ) : N(A^T): N(AT): 如果 A T y = 0 A^Ty=0 ATy=0,那么向量 y y y就在 A A A中的转置矩阵的零空间里,这表示矩阵乘以列向量等于一列零向量

矩阵的自由变量以及特殊解(对 A X = 0 AX=0 AX=0而言)

A A A化简为 R R R的步骤,能揭示左零空间的秘密:

r r e f [ A m ∗ n I m ∗ m ] → [ R m ∗ n E m ∗ m ] rref\begin{bmatrix} A_{m*n} & I_{}m*m\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}R_{m*n}&E_{m*m}\end{bmatrix} rref[AmnImm][RmnEmm]

E n ∗ m E_{n*m} Enm记录 A A A的第步消元变换,行初等变换。

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