线性代数笔记十——四个基本子空间

4个基本子空间由以下组成：

• 列空间：$C(A)$ 在$R^{m}m$维空间
• 零空间：$N(A)$在$R^{n}n$维空间
• 行空间：$C(A^T)A$的行的所有组合，在$R^n$
• 左零空间：$N(A^T)A$转置的零空间，在$R^m$

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基：从基出发构建$R^n$与$R^m$

	$C(A)$	$N(A)$	$C(A^T)$	$N(A^T)$
基	主列	一组特殊解，$n-r$个
维数	$r$	$n-r$

$n$维空间中存在2个维数，一个是$r$维的__子空间(行空间)，另一个是$n-r$维的__零空间

$m$维空间中存在2个维数，一个是$r$维__子空间(列空间)，另一个是$m-r$维的__左零空间

$$C(\underset{行最简}{R})\ne C(A)$$

一组基，对于$A$还是$R$来说都是行最简形，$R$的前$r$行(秩个数)，不是$A$的前$r$行

[ − 1 2 0 1 − 1 0 − 1 0 1 ] ⏟ E [ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ] ⏟ A = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ] ⏟ R \underbrace{\begin{bmatrix}-1&2&0\\1&-1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}_{E} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}_{R} E ​−11−1​2−10​001​ ​​​A ​111​212​323​111​ ​​​=R ​100​010​110​100​ ​​​

怎样的线性组合使$A$的行向量结果为0。

• 例如求矩阵的__左零空间__，就试着寻找一个产生__零行向量__的__行组合__
• 假使求矩阵的__零空间__，找一个产生__零列向量__的__列组合__

$A$的各行都是行基的线性组合，为什么此基的生成空间是行空间？

• 行空间在行最简形式$R$中以最佳形式表现出来

$N(A^T):$ 如果$A^{T}y=0$，那么向量$y$就在$A$中的转置矩阵的零空间里，这表示矩阵乘以列向量等于一列零向量

矩阵的自由变量以及特殊解（对$AX=0$而言）

将$A$化简为$R$的步骤，能揭示左零空间的秘密：

$$rref\left[\begin{array}{cc}{A}_{m\ast n}& I_{}m\ast m\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}{R}_{m\ast n}& E_{m\ast m}\end{array}\right]$$

$E_{n\ast m}$记录$A$的第步消元变换，行初等变换。