【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记（四）

内容：大多是摘录原书，概括、理解是自己总结的。

目的：供自己温习使用，有摘录不全或总结不精的部分。他人学习，仅供参考。

目录

U6 线性方程组

1. 作用于向量的形式

2. 解的形式

3. 解的代数形式

4. 解的结构

5. 方程组、矩阵与向量的关系

U7 二次型

1. 定义

2. 表示（多项式与向量）

3. 用途

4. 几何意义

5. 二次型合同对角化

6. 惯性定理

7. 正定二次型

笔记链接汇总

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U6 线性方程组

1. 作用于向量的形式

（1）看成矩阵对向量（x, y）T的作用，使之变为另一个向量。所以解方程就是看某已知向量撤销矩阵的作用，还原成的（x, y）T是什么，即在找向量是从哪一个向量变来的

（2）将矩阵的每一行看成一个方程，所以是一个x、y如何线性组合而得到的方程组。所以解方程，就是在找这样一个线性组合。

2. 解的形式

（1）从矩阵作用角度看（二阶矩阵）

• 无穷多解：如，某矩阵可以把某直线上所有的点，变换成一个点，则这直线上的无穷多点都是解。

• 无解：如果该矩阵所在的空间（二维平面）中，任何一点都无法在此矩阵的作用下，变成已给的点，那么无解。

（2）从方程个数与秩看（二元方程组）

• 无穷多解：若r(A)=r(A | b)=1，方程只有一个是有效的，即两个方程重合，即两线重合，其交点都是解，有无穷多个。

• 唯一解：若r(A)=r(A | b)=2，两直线相交，有唯一交点就是唯一解。

• 无解：若r(A)=1 < r(A | b)=2，两直线平行但不重合，无法化简，没有相交点，没有解。

若二元三个方程，同理。

（3）从向量空间

有解说明线性方程组成立，即b向量可被向量组{a1，……an}（Ⅰ）线性表示，所以（I）和{a1，……an，b}（Ⅱ）等价。又因为（Ⅰ）是（Ⅱ）的子向量组，二者张成的空间相同，秩也相同。而（Ⅰ）、（Ⅱ）分别是矩阵A和（A | b）的列向量，所以二者列秩相等，有相同的列空间，r (A)=r(A | b)。

• r (A)=r(A | b)=n，说明（Ⅰ）（Ⅱ）张成的空间重合，b的坐标唯一，对应的解也唯一。

• r (A)=r(A | b)