线性代数之矩阵代数
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回忆学校的美好时光，顺便复习一下学校学过的知识吧。
1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；
AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：ImA = A = AIn
3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一Rn中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b
5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵Im进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于In时，A可逆。此时，将A变为In的一系列初等行变换同时将In变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵 [A I] 进行行化简，若A可逆，则 [A I] ~ [I A-1]
将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：
Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=en
这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵
[A e1 e2 ... en] = [A I]
如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=ej，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]
9. 可逆矩阵定理
对于n阶方阵，以下命题等价：
a) A可逆
b) A与n阶单位矩阵等价
c) A有n个主元位置
d) 方程Ax=0仅有平凡解
e) A各列线性无关
f) 线性变换x|->Ax是一对一的
g) 对Rn中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）
h) A各列生成Rn
i) 线性变换x|->Ax将Rn映上到Rn
j) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=I
k) AT可逆
l) A的列向量构成Rn的一个基
m) ColA=Rn
n) dim(Col(A))=n
o) rank(A)=n
p) Nul(A)=0
q) dim(Nul(A))=0
r) det(A)≠0 <=> A可逆
s) A可逆当且仅当0不是A的特征值
t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零
再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。对于mxn（m≠n）则未必
10. 分块矩阵乘法
两个矩阵A、B相乘，要求A的列数等于B的行数，因此若要使分块后的矩阵能够应用乘法，分块时A的列分法必须与B的行分法一致，而A的行分法与B的列分法可以任意。
例如A有5列B有5行，A分块为3列/2列，那么B就要分为3行/2行。
11. 按上一项所述，如果将A的每一列都分作为一块，同样将B的每一行都分作为一块，那么就可以得到：
AB = [col1(A) col2(A) ... coln(A)] [row1(B) row2(B) ... rown(B)]T
= sigma(colk(A)rowk(B)) (1 ≤ k ≤ n)
每个colk(A)rowk(B)本身也是一个mxp矩阵（假设A为mxn矩阵，B为nxp矩阵）。
12. 单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵。
13. LU分解
如果A可化为阶梯形U，且化简过程中仅使用行倍加变换（将一行倍数加到它下面的另一行），那么由于每次初等变换均等价于相应初等矩阵与A相乘，所以A到U的变换过程可表示为：
Ep...E1A=U
于是A可表示为A=LU，其中L=(Ep...E1)-1，即L=E1-1...Ep-1
由于单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵，所以L为单位下三角矩阵。
14. 向量空间：向量集中的向量满足加法交换律和结合律、标量乘法交换律和结合律、存在零向量和负向量，以上运算结果仍在该集合中。
15. 子空间：非空，对加法和标量乘法封闭（非空且封闭则必包含零向量）。
16. 若v1, v2, ... vp在V中，Span(v1, v2, ... vp)是V的子空间。
17. 设A为mxn矩阵，满足Ax=0的x集合是A的零空间，是Rn的子空间，空间中的任意向量v满足Av=0。
18. 设A为mxn矩阵，A的列的所有线性组合是A的列空间，是Rm的子空间，空间中的任意向量v使方程Ax=v相容。
19. 子空间的维与向量的维：向量中元素数量是向量的维；子空间的基的向量的数量是子空间的维。
20. 矩阵A的行空间的维=列空间的维=rank(A)
21. 若A有n列，那么rank(A) + dim(Nul(A)) = n
22. 矩阵的主元列构成列空间的基
23. 若A，B均为nxn矩阵，则detAB=(detA)(detB) [注：一般来说det(A+B)≠detA+detB]
24. 若A为nxn矩阵，且除了其中一列以外其他各列固定，那么detA是那个可变列的线性函数
25. 若A是一个2x2矩阵，那么由A的列确定的平行四边形面积为|detA|
若A是一个3x3矩阵，那么由A的列确定的平行六面体的体积为|detA|
（若A为2x2矩阵，两列为v1，v2，那么平行四边形的四个顶点为0，v1，v2，v1+v2）
（若A为3x3矩阵，三列为v1，v2，v3，那么平行六面体的八个顶点为0，v1，v2，v3，v1+v2，v1+v3，v2+v3，v1+v2+v3）
26. 若T: R2->R2是由一个2x2矩阵A确定的线性变换，S是R2中的一个平行四边形，则：
T(s)的面积=|detA|·S的面积