通俗的方式解释“零钱兑换”问题

“零钱兑换”是一道经典的算法题目，其主要问题是：给定不同面额的硬币和一个总金额，求出凑成总金额所需的最少硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1。

解题思路

1. 动态规划：使用动态规划是解决零钱兑换问题的常用方法。定义一个数组dp，其中dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币个数。
2. 状态转移方程：对于每个金额i，遍历所有硬币面额coin，如果i >= coin，则dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)。
3. 初始化：dp[0] = 0，因为凑成金额0不需要任何硬币。对于其他金额，可以初始化为一个较大的数（如amount + 1），表示初始时无法凑成该金额。
4. 结果判断：最终dp[amount]即为所求，如果dp[amount]仍为初始值，则表示无法凑成总金额，返回-1。

示例代码（C++）

#include 
#include 
using namespace std;

int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
    vector<int> dp(amount + 1, amount + 1); // 初始化为一个较大的数
    dp[0] = 0; // 凑成金额0不需要任何硬币

    for (int i = 1; i <= amount; ++i) {
        for (int coin : coins) {
            if (i >= coin) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }
    }

    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

说明

• 输入：coins是一个整数数组，表示不同面额的硬币；amount是一个整数，表示总金额。
• 输出：返回凑成总金额所需的最少硬币个数，如果无法凑成，则返回-1。

这道题考察了动态规划的思想和实现能力，是面试中常见的算法题。

状态转移方程不太懂

好的，我们来详细解释一下“零钱兑换”问题中的状态转移方程。

问题背景

假设我们有若干种硬币，每种硬币有不同的面额。现在需要凑出一个总金额 amount，目标是用最少的硬币数量凑出这个金额。

动态规划中的状态定义

在动态规划中，我们需要定义一个状态来表示问题的子问题。对于零钱兑换问题，我们定义：

• dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数量。

状态转移方程的含义

状态转移方程是动态规划的核心，它描述了如何从已知的子问题状态推导出当前问题的状态。

对于零钱兑换问题，状态转移方程是：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

这个方程的意思是：

• 如果我们想凑成金额 i，可以尝试用一个面额为 coin 的硬币。
• 如果用了这个硬币，那么剩下的金额就是 i - coin。
• 我们已经知道凑成金额 i - coin 所需的最少硬币数量是 dp[i - coin]。
• 因此，凑成金额 i 的硬币数量可以是 dp[i - coin] + 1（+1 是因为我们多用了一个硬币）。
• 但是，凑成金额 i 的方法可能有多种（比如可以用不同面额的硬币），所以我们要取所有可能方法中的最小值。

具体例子

假设硬币面额为 [1, 2, 5]，目标金额是 11。

初始化

我们先初始化一个数组 dp，长度为 amount + 1，并将所有值设为一个较大的数（比如 amount + 1），表示初始时认为凑不出这些金额。同时，dp[0] = 0，因为凑成金额 0 不需要任何硬币。

计算过程

我们逐步计算每个金额的最少硬币数：

1. 计算 dp[1]：

   • 尝试用面额为 1 的硬币：dp[1 - 1] + 1 = dp[0] + 1 = 0 + 1 = 1。
   • 因此，dp[1] = 1。

2. 计算 dp[2]：

   • 尝试用面额为 1 的硬币：dp[2 - 1] + 1 = dp[1] + 1 = 1 + 1 = 2。
   • 尝试用面额为 2 的硬币：dp[2 - 2] + 1 = dp[0] + 1 = 0 + 1 = 1。
   • 因此，dp[2] = min(2, 1) = 1。

3. 计算 dp[3]：

   • 尝试用面额为 1 的硬币：dp[3 - 1] + 1 = dp[2] + 1 = 1 + 1 = 2。
   • 尝试用面额为 2 的硬币：dp[3 - 2] + 1 = dp[1] + 1 = 1 + 1 = 2。
   • 因此，dp[3] = min(2, 2) = 2。

4. 计算 dp[4]：

   • 尝试用面额为 1 的硬币：dp[4 - 1] + 1 = dp[3] + 1 = 2 + 1 = 3。
   • 尝试用面额为 2 的硬币：dp[4 - 2] + 1 = dp[2] + 1 = 1 + 1 = 2。
   • 因此，dp[4] = min(3, 2) = 2。

5. 计算 dp[5]：

   • 尝试用面额为 1 的硬币：dp[5 - 1] + 1 = dp[4] + 1 = 2 + 1 = 3。
   • 尝试用面额为 2 的硬币：dp[5 - 2] + 1 = dp[3] + 1 = 2 + 1 = 3。
   • 尝试用面额为 5 的硬币：dp[5 - 5] + 1 = dp[0] + 1 = 0 + 1 = 1。
   • 因此，dp[5] = min(3, 3, 1) = 1。

……以此类推，直到计算出 dp[11]。

总结

状态转移方程 dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) 的含义是：

• 对于每个金额 i，尝试用每一种硬币 coin。
• 如果用了这个硬币，那么剩下的金额是 i - coin，而凑成 i - coin 的最少硬币数是已知的（dp[i - coin]）。
• 因此，凑成金额 i 的硬币数可以是 dp[i - coin] + 1。
• 最后取所有可能方法中的最小值，作为凑成金额 i 的最少硬币数。

希望这个解释能帮助你更好地理解状态转移方程！

我还是不理解

好的，我来用更通俗的方式解释“零钱兑换”问题。

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问题背景

假设你是一名收银员，顾客需要找零，你手上有不同面额的硬币。你的任务是用最少的硬币数量凑出顾客需要的零钱金额。

举个例子

假设你手上有以下几种硬币：

• 1元硬币
• 3元硬币
• 4元硬币

现在顾客需要找零 10元，你会怎么凑呢？

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思考过程

1. 目标：用最少的硬币凑出10元。
2. 方法：你可以尝试不同的组合：
   • 用10个1元硬币（10个硬币）
   • 用3个3元硬币 + 1个1元硬币（4个硬币）
   • 用2个4元硬币 + 2个1元硬币（4个硬币）
   • 用1个4元硬币 + 2个3元硬币（3个硬币）

经过比较，你会发现 1个4元硬币 + 2个3元硬币 是最优解，只需要 3个硬币。

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零钱兑换问题的核心

1. 输入：

   • 一个硬币数组，比如 [1, 3, 4]，表示你手上的硬币面额。
   • 一个目标金额，比如 10，表示需要凑出的金额。

2. 输出：

   • 返回最少需要的硬币数量。如果无法凑出目标金额，返回 -1。

3. 难点：

   • 你不能简单地从最大的硬币开始凑，因为可能无法凑出目标金额。比如，目标金额是 6元，硬币面额是 [4, 3, 1]，如果你先用一个4元硬币，剩下的2元就无法凑出（因为没有2元硬币）。

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动态规划的思路

动态规划是一种分步解决问题的方法，它把大问题拆成小问题，逐步求解。

1. 定义状态：

   • 假设 dp[i] 表示凑出金额 i 所需的最少硬币数量。

2. 状态转移：

   • 假设你已经知道凑出金额 i - coin 所需的最少硬币数量（dp[i - coin]），那么加上一个面额为 coin 的硬币，就可以凑出金额 i。
   • 所以，dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)，意思是：凑出金额 i 的最少硬币数，要么是之前已经计算好的值，要么是凑出金额 i - coin 的硬币数加1。

3. 初始化：

   • dp[0] = 0，因为凑出金额0不需要任何硬币。
   • 其他金额可以初始化为一个很大的数（比如 amount + 1），表示目前无法凑出。

4. 最终结果：

   • 如果 dp[amount] 仍然是初始值（比如 amount + 1），说明无法凑出目标金额，返回 -1。
   • 否则，返回 dp[amount]。

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用例子解释动态规划

假设硬币面额是 [1, 3, 4]，目标金额是 6，我们逐步计算 dp 数组：

金额（i）	0	1	2	3	4	5	6
dp[i]	0	1	2	1	1	2	2

• 金额0：dp[0] = 0，凑出金额0不需要硬币。
• 金额1：只能用1个1元硬币，所以 dp[1] = 1。
• 金额2：只能用2个1元硬币，所以 dp[2] = 2。
• 金额3：可以用3个1元硬币（dp[3] = dp[0] + 1 = 1），也可以用1个3元硬币（dp[3] = 1）。
• 金额4：可以用4个1元硬币（dp[4] = dp[0] + 1 = 1），也可以用1个4元硬币（dp[4] = 1）。
• 金额5：可以用5个1元硬币（dp[5] = dp[0] + 1 = 2），也可以用1个3元硬币 + 2个1元硬币（dp[5] = dp[2] + 1 = 2）。
• 金额6：可以用6个1元硬币（dp[6] = dp[0] + 1 = 2），也可以用2个3元硬币（dp[6] = dp[0] + 2 = 2）。

最终，凑出金额6最少需要2个硬币。

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总结

零钱兑换问题的核心是用最少的硬币凑出目标金额。动态规划通过逐步计算每个金额所需的最少硬币数，最终得到答案。希望这个解释能帮助你理解！

这回我终于懂了！