完全 背包
题目
二维数组解法
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2、确定递推公式
依然拿dp[1][4]的状态来举例：
求取 dp[1][4] 有两种情况：放物品1还是不放物品1
如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
如果放物品1， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]，此时这里与0-1背包不同的地方；
在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]
两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值)
以上过程，抽象化如下：
-
不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
-
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])）
3、dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个。
4、确定遍历顺序
01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。
因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有
5、举例推导dp数组
以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图：
因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。
运行代码：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int bagWeight = scanner.nextInt();
int[] weight = new int[n];
int[] value = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
weight[i] = scanner.nextInt();
value[i] = scanner.nextInt();
}
int[][] dp = new int[n][bagWeight + 1];
// 初始化
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
// 动态规划
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
if (j < weight[i]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[n - 1][bagWeight]);
scanner.close();
}
}
#Go
#Python
def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]
# 初始化
for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]
# 动态规划
for i in range(1, n):
for j in range(bag_weight + 1):
if j < weight[i]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
return dp[n - 1][bag_weight]
# 输入
n, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
w, v = map(int, input().split())
weight.append(w)
value.append(v)
# 输出结果
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))