矩阵指数的定义和基本性质

1. 矩阵指数的定义

矩阵指数 $e^{\mathbf{A}t}$ 定义为幂级数的形式：

$$e^{\mathbf{A}t}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\mathbf{A}t{)}^k}{k!}$$

当 $\mathbf{A}$ 为 $n\times n$ 方阵时，该级数是有限项的收敛矩阵级数。

2. 初始条件

矩阵指数在 $t=0$ 时为单位矩阵：

$$e^{\mathbf{A}\cdot 0}=\mathbf{I}$$

3. 矩阵指数的导数

矩阵指数的导数与矩阵本身的乘积满足以下关系：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{\mathbf{A}t}=\mathbf{A}{e}^{\mathbf{A}t}$$

4. 逆矩阵

矩阵指数的逆矩阵为负指数：

$${\left(e^{\mathbf{A}t}\right)}^{-1}=e^{-\mathbf{A}t}$$

这等价于在级数定义中将 $\mathbf{A}$ 的符号取反。

5. 矩阵指数的乘积（换元法）

对于任意标量 $t_1$ 和 $t_2$，矩阵指数满足：

$$e^{\mathbf{A}{t}_1}{e}^{\mathbf{A}{t}_2}=e^{\mathbf{A}(t_1+t_2)}$$

特别地，当 $t_2=-t_1$ 时，得到：

$$e^{\mathbf{A}t}{e}^{-\mathbf{A}t}=\mathbf{I}$$

6. 矩阵相似性

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相似（即 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$），则：

$$e^{\mathbf{B}t}={\mathbf{P}}^{-1}{e}^{\mathbf{A}t}\mathbf{P}$$

7. 对角化情况

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ 使得：

$$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$$

则：

$$e^{\mathbf{A}t}=\mathbf{P}{e}^{\mathbf{\Lambda }t}{\mathbf{P}}^{-1}$$

其中：

$$e^{\mathbf{\Lambda }t}=\text{diag}\left(e^{{\lambda }_{1}t},e^{{\lambda }_{2}t},\dots ,e^{{\lambda }_{n}t}\right)$$

8. 级数截断

当矩阵 $\mathbf{A}$ 为幂零矩阵（即某次幂后全零，如 ${\mathbf{A}}^k=0$），矩阵指数成为一个有限项的多项式。

9. 复合性质

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 满足 $[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A}=0$（即它们可交换），则：

$$e^{(\mathbf{A}+\mathbf{B})t}=e^{\mathbf{A}t}{e}^{\mathbf{B}t}$$

10. 拉普拉斯变换

矩阵指数的拉普拉斯变换为：

$$\mathcal{L}[e^{\mathbf{A}t}]=(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}$$

其中 $\mathbf{I}$ 为单位矩阵。

这些性质为矩阵指数在理论分析和实际计算中提供了强大的工具，尤其是在线性系统分析和微分方程的求解中。