7.4考研408数据结构B树与B+树专题深度解析

考研408数据结构B树与B+树专题深度解析

一、B树（B-Tree）

1.1 定义与性质

定义：
B树是一种平衡多路查找树，满足以下条件：

1. 阶数：每个结点最多有$m$个子树（$m\ge 3$），称为$m$阶B树
2. 关键字数量：
   • 根结点：$1\le n\le m-1$
   • 非根非叶结点：$\lceil m/2\rceil -1\le n\le m-1$
3. 结构特性：
   • 所有叶结点位于同一层（绝对平衡）
   • 结点内关键字升序排列，满足子树指针分割关系：$A_{i-1}$子树所有关键字$<K_i<A_i$子树所有关键字

核心性质：

• 平衡性：所有叶结点高度相同
• 查找效率：查找复杂度为$O({\log }_{m}N)$，树高$h$满足$h\le {\log }_{\lceil m/2\rceil }\frac{N+1}{2}+1$

易错点：

1. 阶数理解误区：混淆“阶”与“度数”，误认为每个结点必须有$m$个子树（实际非根结点最少为$\lceil m/2\rceil$）
2. 关键字数量计算：忘记非根结点最小关键字数为$\lceil m/2\rceil -1$，导致插入删除操作错误
3. 平衡调整：未正确处理分裂/合并时父结点关键字更新，导致树结构失衡

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1.2 基本操作与实现

1.2.1 插入操作

算法步骤：

1. 查找插入位置：从根结点开始，按关键字大小选择子树路径
2. 插入关键字：在叶结点或非叶结点插入新关键字，保持有序性
3. 分裂调整：若结点关键字数超过$m-1$，则分裂为两个结点，中间关键字上升到父结点
4. 递归调整：若父结点因分裂超限，继续向上分裂直至根结点

实现代码（伪代码）：

void BTreeInsert(BTree *T, KeyType k) {
    if (T == NULL) return;
    if (T->keynum < m-1) {  // 直接插入
        InsertKey(T, k);
    } else {  // 分裂
        BTreeNode *newNode = SplitNode(T);
        KeyType midKey = T->keys[⌈m/2⌉];
        InsertKey(parent, midKey);  // 中间关键字插入父结点
        // 递归处理父结点
    }
}

难点：

• 分裂策略：中间关键字选择（$\lceil m/2\rceil$位置）
• 父结点更新：分裂后需正确调整父结点指针与关键字顺序

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1.2.2 删除操作

算法步骤：

1. 查找删除位置：定位关键字所在结点
2. 删除关键字：
   • 叶结点：直接删除
   • 非叶结点：用前驱/后继替代（左子树最大或右子树最小）
3. 调整平衡：
   • 借关键字：若兄弟结点关键字数$>\lceil m/2\rceil -1$，则向兄弟借
   • 合并结点：若兄弟不足以借，合并当前结点与兄弟，父结点关键字下移

实现代码（伪代码）：

void BTreeDelete(BTree *T, KeyType k) {
    Node *target = SearchNode(T, k);
    if (target == NULL) return;
    
    if (target->isLeaf) {
        DeleteFromLeaf(target, k);
    } else {  // 非叶结点处理
        KeyType predecessor = FindPredecessor(target, k);
        ReplaceKey(target, k, predecessor);
        target = predecessorNode;  // 转换为叶结点删除
    }
    
    // 调整平衡
    while (target->keynum < ⌈m/2⌉-1) {
        if (canBorrowFromSibling(target)) {
            BorrowFromSibling(target);
        } else {
            MergeWithSibling(target);
            target = parent;  // 向上递归调整
        }
    }
}

易错点：

• 前驱/后继选择：非叶结点删除时未正确替换导致子树结构破坏
• 合并顺序：合并时未正确处理父结点关键字下移导致树高降低异常

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1.3 考研真题与模拟题

真题示例

题目（2022年408）：
在5阶B树中插入关键字序列{15, 22, 3, 8, 71, 50}，画出最终形态。

解析：

1. 初始插入15（根结点）
2. 插入22（根结点变为[15,22]）
3. 插入3：根结点分裂为[15]，左子结点[3]，右子结点[22]
4. 插入8：左子结点变为[3,8,15]，分裂后根结点[8,15]，子树[3]、[15,22]
5. 插入71：右子结点[15,22,71]分裂，根结点变为[8,15,22]
6. 插入50：右子树插入后调整，最终形态需满足5阶B树性质

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模拟题

题目：给定4阶B树初始状态如下，删除关键字30后的结构如何调整？

        [20, 40]
       /   |   \
[10,15] [25,30] [45,50]

答案：

1. 删除30后，结点[25]关键字不足（1 < ⌈4/2⌉-1=1，无需调整）
2. 父结点仍为[20,40]，树结构保持平衡

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二、B+树（B+Tree）

2.1 定义与性质

定义：
B+树是B树的变体，满足：

1. 结点结构：
   • 非叶结点：仅存储索引关键字（子树最大值）
   • 叶结点：存储全部关键字及记录指针，并通过链表连接
2. 子树关系：非叶结点子树数=关键字数
3. 查找路径：所有查找均需到达叶结点

核心性质：

• 范围查询高效：叶结点链表支持顺序遍历
• 磁盘友好：非叶结点可存储更多索引项，减少I/O次数

与B树差异：

特性	B树	B+树
关键字存储	非叶结点存实际数据	非叶结点仅存索引
叶结点链接	无	叶结点通过指针链接
查找终止位置	可能在非叶结点	必须到达叶结点

易错点：

1. 索引理解错误：误认为非叶结点存储完整数据
2. 范围查询实现：未利用叶结点链表特性，错误设计遍历逻辑

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2.2 基本操作与实现

2.2.1 插入操作

算法步骤：

1. 查找插入位置：定位到叶结点
2. 插入关键字：保持叶结点有序性
3. 分裂调整：若叶结点超限，分裂为两个结点，复制最大关键字到父结点
4. 非叶结点更新：若父结点超限，递归分裂

代码实现要点：

void BPlusTreeInsert(BPlusTree *T, KeyType k) {
    LeafNode *leaf = FindLeaf(T, k);
    InsertIntoLeaf(leaf, k);
    
    if (leaf->keynum > m-1) {
        LeafNode *newLeaf = SplitLeaf(leaf);
        InsertIntoParent(leaf, newLeaf->keys[0], newLeaf);
    }
}

难点：

• 分裂策略：叶结点分裂时需维护链表指针
• 索引更新：非叶结点分裂需复制（非移动）关键字

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2.2.2 删除操作

算法步骤：

1. 查找删除位置：定位到叶结点
2. 删除关键字：直接删除，保持有序
3. 调整平衡：
   • 借关键字：向兄弟结点借
   • 合并结点：若兄弟不足，合并叶结点并删除父结点对应关键字

实现细节：

void BPlusTreeDelete(BPlusTree *T, KeyType k) {
    LeafNode *leaf = FindLeaf(T, k);
    DeleteFromLeaf(leaf, k);
    
    if (leaf->keynum < ⌈m/2⌉) {
        if (canBorrowFromSibling(leaf)) {
            BorrowFromSibling(leaf);
        } else {
            MergeWithSibling(leaf);
            // 递归调整父结点关键字
        }
    }
}

易错点：

• 父结点关键字处理：合并叶结点后需删除父结点冗余关键字
• 链表维护：合并时未更新叶结点链表指针

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2.3 考研真题与模拟题

真题示例

题目（2023年408）：
下列关于B+树的描述中，错误的是：
A. 叶结点包含全部关键字
B. 非叶结点关键字是子树的最大值
C. 支持高效的范围查询
D. 非叶结点存储实际数据记录

答案：D
解析：B+树的非叶结点仅存储索引，实际数据存储在叶结点

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模拟题

题目：在3阶B+树中插入序列{5, 8, 3, 7, 1}，画出最终结构。

答案：

非叶结点: [5,7]
叶结点链表: [1,3] ↔ [5,7] ↔ [8]

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三、综合应用与高频考点

3.1 树高与关键字数量关系

公式推导：

• 最小高度：$h_{min}={\log }_m(N+1)$
• 最大高度：$h_{max}={\log }_{\lceil m/2\rceil }\frac{N+1}{2}+1$

真题应用（2018年408）：
已知某5阶B树含24个关键字，求最小高度。
解法：
$h_{min}={\log }_5(24+1)=2$

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3.2 插入删除综合题

题目：给定4阶B树初始结构如下，依次删除35、40，画出每步结果：

        [30, 40]
       /    |    \
[10,20]  [35]  [45,50]

解析：

1. 删除35：直接删除，父结点变为[30,40] → [30,40]
2. 删除40：父结点删除40后，合并[30]与[45,50]，新根为[30,45,50]

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四、算法实现模板

4.1 B树查找算法

BTreeNode* BTreeSearch(BTreeNode *root, KeyType k) {
    int i = 0;
    while (i < root->n && k > root->keys[i]) i++;
    if (i < root->n && k == root->keys[i]) return root;
    if (root->isLeaf) return NULL;
    return BTreeSearch(root->children[i], k);
}

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4.2 B+树范围查询

void BPlusTreeRangeQuery(BPlusTree *T, KeyType low, KeyType high) {
    LeafNode *start = FindLeaf(T, low);
    while (start != NULL && start->keys[0] <= high) {
        for (int i=0; i<start->n; i++) {
            if (start->keys[i] >= low && start->keys[i] <= high) {
                printf("%d ", start->keys[i]);
            }
        }
        start = start->next;
    }
}

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五、易混淆知识点对比

对比项	B树	B+树
数据存储	非叶结点存数据	仅叶结点存数据
查询终止	可能在非叶结点找到数据	必须到达叶结点
范围查询	效率低	通过叶结点链表高效支持
分裂方式	中间关键字上移	叶结点分裂时复制关键字到父结点

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六、备考建议

1. 手绘练习：针对插入/删除操作，手动绘制每步调整过程（参考网页1、网页7）
2. 复杂度推导：掌握树高公式的数学证明（网页2、网页6）
3. 真题精练：重点练习2010-2023年涉及B树/B+树的真题（网页9、网页16）
4. 代码默写：熟记插入/删除的核心代码模板（网页12、网页14）

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注：建议结合《数据结构（C语言版）》与王道考研教材进行系统复习。